Задачи на устойчивость сжатых стержней

Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:

2014-09-24 18-23-07 Скриншот экрана

Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:

1)    от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,

2)    от способа закрепления концов стержня,

3)    от материала стержня.

Как и всякая допускаемая величина, уст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.

Поэтому 2014-09-24 18-25-33 Скриншот экрана

Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.

Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:2014-09-24 18-27-07 Скриншот экрана

 

В этом случае 2014-09-24 18-28-45 Скриншот экрана,

где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).

Коэффициент φ<1 и потому называется коэффициентом снижения основного допускаемого напряжения, то есть [σ] по прочности,  или иначе коэффициентом продольного изгиба.

С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:

2014-09-24 18-30-56 Скриншот экрана

Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана, где:

μкоэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой  закрепления стержней

2014-09-24 18-35-58 Скриншот экрана

 — геометрическая длина стержня,

i радиус инерции поперечного сечения 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.

Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось,  как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.

При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.

Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов

2014-09-24 18-42-23 Скриншот экрана

На основании условия устойчивости решаются три вида задач:

  1. Проверка устойчивости.
  2. Подбор сечения.
  3. Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.

Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:

2014-09-24 18-44-39 Скриншот экрана

Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана, который в свою очередь включен в формулу гибкости 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана, от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:

1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим 2014-09-24 18-47-43 Скриншот экрана , определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана , затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 18-49-13 Скриншот экрана и сравниваем со значением φ1 . Если 2014-09-24 18-50-12 Скриншот экрана , то:

2 попытка: принимаем 2014-09-24 18-54-51 Скриншот экрана , находим  2014-09-24 18-55-28 Скриншот экрана, определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана , затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 18-56-29 Скриншот экрана, и если 2014-09-24 18-57-09 Скриншот экрана , то:

3 попытка: принимаем 2014-09-24 18-58-17 Скриншот экрана , находим 2014-09-24 18-58-53 Скриншот экрана , определяем размеры сечения, вычисляем 2014-09-24 18-38-22 Скриншот экрана, затем гибкость 2014-09-24 18-32-05 Скриншот экрана , по таблице определяем 2014-09-24 19-00-09 Скриншот экрана, и т.д.

Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница  не окажется менее 5%.