Задача на определение критической силы энергетическим методом

Определить критическую силу для стержня постоянного сечения энергетическим методом. 2015-06-14 13-49-47 Скриншот экрана Принимаем для изогнутой оси стержня уравнение параболы 2015-06-14 13-56-50 Скриншот экрана Это уравнение удовлетворяет кинематическим условиям: 2015-06-14 13-58-35 Скриншот экрана, но не удовлетворяет статическим граничным условиям, так как 2015-06-14 14-00-36 Скриншот экрана, т.е. изгибающий момент постоянен по длине стержня, тогда как на самом деле он увеличивается от концов балки к  ее середине. Вычисляя  полную потенциальную энергию стержня по формуле 2015-06-14 13-51-47 Скриншот экрана и  используя условие dФ/dC=0,найдем 2015-06-14 14-05-19 Скриншот экрана вместо точного значения2015-06-14 14-06-19 Скриншот экрана. Если энергию изгиба вычислять не по формуле 2015-06-14 14-08-40 Скриншот экрана, а по формуле 2015-06-14 14-12-03 Скриншот экрана,то получим2015-06-14 14-13-10 Скриншот экрана что лишь на 1,3% выше точного значения. (При вычислении принимаем 2015-06-14 14-16-24 Скриншот экрана )

Следует отметить, что критические силы, определяемые энергетическим методом, всегда  получаются больше действительных.

Примем теперь для изогнутой оси уравнение

2015-06-14 14-18-53 Скриншот экрана

Это уравнение удовлетворяет  и кинематическим и статическим условиям, так как на концах стержня прогибы и изгибающие моменты получаются равными нулю в соответствии с действительностью.

Вычисляем:  

2015-06-14 14-20-46 Скриншот экрана

Вычисляя  Ф по формуле 2015-06-14 13-51-47 Скриншот экрана и  используя условие  dФ/dC=0, получим 2015-06-14 14-24-28 Скриншот экранат.е. точное значение. Точное значение критической силы получилось потому, что мы задались точным выражением для изогнутой оси.