Расчет пространственного (коленчатого) стержня

Для пространственного (коленчатого) стержня требуется построить эпюры продольной силы N, крутящего момента Мкz, изгибающих моментов Мху относительно главных центральных осей инерции поперечных сечений на каждом участке, подобрать размеры указанных форм поперечных сечений на каждом участке и проверить их прочность. Дано:2015-01-14 18-31-43 Скриншот экрана2015-01-14 18-32-58 Скриншот экранаВнутренние силовые факторы на каждом участке будем определять методом сечений. При этом удобнее рассматривать каждый раз ту отсеченную часть системы, в которую не входит заделка. В этом случае отпадает необходимость вычисления реакций  со стороны заделки на систему. Составим выражение внутренних силовых факторов, действующих в начале и конце каждого участка, и построим их эпюры.

Рассмотрим  участок АВ2015-01-14 18-33-35 Скриншот экрана

В сечении А:      2015-01-14 18-42-05 Скриншот экрана

Конец участка АВ: 

2015-01-14 18-43-11 Скриншот экрана

Приводим все действующие на участке АВ нагрузки к началу участка ВС2015-01-14 18-34-10 Скриншот экрана

Начало участка: 

2015-01-14 18-44-53 Скриншот экрана

Конец участка: 

2015-01-14 18-45-51 Скриншот экрана

Приводим нагрузки, действующие на предыдущем участке, к началу участка СD2015-01-14 18-34-45 Скриншот экрана

Начало участка СD: 

2015-01-14 18-47-52 Скриншот экрана

Конец участка СD: 

2015-01-14 18-48-56 Скриншот экрана

Строим эпюры. Эпюры изгибающих моментов строим на сжатых волокнах участков стержня.2015-01-14 18-35-23 Скриншот экрана

Значения Мх, Му, Мк на эпюрах в кН∙м, N в кН.

Переходим к подбору размеров поперечных сечений участков системы.

На участке АВ наиболее нагруженным является сечение В:2015-01-14 18-51-41 Скриншот экрана2015-01-14 20-28-25 Скриншот экрана

Примем соотношение сторон поперечного сечения h/b=2.

В квадрантах сечения нанесем знаки нормальных напряжений, возникающих от  N, Mx, My. В зависимости от величин  Mx, My, Мк и соотношения сторон прямоугольного сечения, наиболее напряженной точкой в сечении может оказаться одна из трех: 1, 2, 3. При подборе размеров поперечного сечения не будем учитывать влияние продольной силы N. В точке 1, посередине длинной стороны сечения, возникает плоское напряженное состояние. По теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в точке 1:

2015-01-14 18-56-07 Скриншот экрана

В угловой точке 2 действуют только нормальные напряжения (линейное напряженное состояние), так как касательные напряжения от кручения Мк равны нулю.2015-01-14 20-14-04 Скриншот экрана

Сравнивая полученные значения напряжений в точках 1, 2, и 3, видим, что наиболее напряженной является точка 1.

Подберем сечение:

2015-01-14 20-15-46 Скриншот экрана

Полученное значение необходимо округлять с учетом существующих стандартов на сортовой прокат или до ближайшего, как правило, большего нормального линейного размера. Принимаем b=45мм, h=2b=90мм.

С учетом влияния продольной силы нормальное напряжение в точке 1 будет:2015-01-14 20-16-54 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется.

В любом нормальном сечении участка ВС действуют:

2015-01-14 20-18-28 Скриншот экрана

В начале участка:2015-01-14 20-19-28 Скриншот экрана

В конце участка: 2015-01-14 20-20-05 Скриншот экрана

Необходимо провести анализ по выбору наиболее опасного круглого сечения (Wx=Wy=W).

Изгибающие моменты Mx и  My геометрически суммируем в один результирующий момент 2015-01-14 20-21-48 Скриншот экрана

В данном случае оба сечения равноопасны.

Подбираем диаметр стержня без учета продольной силы N. Для стержня круглой формы сечения максимальные нормальные и касательные напряжения возникают на контуре сечения (плоское напряженное состояние, Wρ=2W).2015-01-14 20-23-08 Скриншот экрана

Принимаем d=0,065м=65мм.

С учетом продольной силы:

2015-01-14 20-24-39 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется.

На участке CD требуется подобрать сечение квадратной формы. Опасным является сечение D2015-01-14 20-26-19 Скриншот экрана2015-01-14 18-36-38 Скриншот экрана

Касательные напряжения от Мк в точках 1 и 3 одинаковы, а нормальные напряжения в точке 1 больше, чем в точке 3, так как Мх> Мy, Wx=Wy.

Подберем размеры поперечного сечения без учета влияния продольной силы N. В точке 1 имеем:

2015-01-14 20-30-51 Скриншот экрана

В точке 1 имеет место плоское напряженной состояние, следовательно2015-01-14 20-31-46 Скриншот экрана

В угловой точке 2 действуют нормальные напряжения2015-01-14 20-32-37 Скриншот экрана

Наибольшее напряжение действует в точке 2.2015-01-14 20-33-35 Скриншот экрана

Принимаем а=0,065м

С учетом влияния продольной силы имеем (сжатие):2015-01-14 20-34-26 Скриншот экрана

Условие прочности выполняется

Окончательно принимаем: b=45мм, h=90мм, d=65мм, а=65мм.