Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Рассчитать статически неопределимую раму методом сил. Для рамы построить эпюры Mок,Q, N со всеми проверками.

Дано: l=h=2 м, q=10 кН/м, F=20 кН, I1/I2

Зададимся соотношением моментов инерции. Пусть первый I1=I  , тогда  второй I2=2 I

2014-12-13 19-40-02 Скриншот экрана

1) определим степень статической неопределимости системы:

 λ=Соп-3=5-3=2

где Соп – число опорных реакций

3 – число  уравнений статики 

то есть, система дважды статически неопределима. т.е. для ее решения требуются два дополнительных уравнения. Это будут канонические уравнения метода сил.

Тогда система канонических уравнений будет:     

δ11Х1+ δ12Х2+ Δ1F=0,

δ21Х1+ δ22Х2+ Δ2F=0.

 2) построим основную систему, отбросив некоторое число опор, суммарное количество реакций которых должно соответствовать значению статической неопределимости (т.е. в нашем случае – 2 реакции). Отбросим опоры В и С. Действие опор заменим двумя неизвестными силами —  X1    ,   X2.

2014-12-13 19-47-36 Скриншот экрана

2) загружаем основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов — грузовую эпюру.

2014-12-13 19-56-16 Скриншот экрана

2014-12-13 19-56-59 Скриншот экрана

Построим грузовую эпюру моментов  (все значения откладываются на сжатых волокнах):

2014-12-13 19-59-23 Скриншот экрана

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

2014-12-13 20-00-12 Скриншот экрана

2014-12-13 20-01-07 Скриншот экрана

3) По направлению предполагаемых реакций отброшенных опор к основной системе поочерёдно прикладываем единичные силы х1=1 и  х2=1, строим единичные эпюры Ми М2  

Построим эпюру M1   от действия x1=1.

2014-12-13 20-05-14 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x1 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x14=0      RA=2

∑MА:  RД2- HD4=0     RD=2

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Теперь определим моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=22=4 (сжатые волокна сверху).  Строим эпюру M1

Построим эпюру M2   от действия x2=1.

2014-12-13 20-08-26 Скриншот экрана

Сначала определим опорные реакции

 ∑X=0   -x2 + HD = 0       HD=1

∑MD:  RA2-x22=0      RA=1

∑MА:  RД2- HD4+x22=0     RD=1

Проверка  ∑Y=0    RA— RD= 0     верно

Моменты в характерных точках

MA=MD=0 

MFлев=RA2=12=2 (сжатые волокна сверху)

4) определяем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр по формуле Симпсона. Следует помнить о соотношении жесткостей стержней.2014-12-13 21-42-11 Скриншот экрана

Знак минус перед слагаемыми в грузовых коэффициентах ставим потому, что эпюры на грузовой и единичной эпюрах расположены по разные стороны стержней.

5) подставляем значения перемещений в канонические уравнения, сокращаем на EI, находим значения x1 и x2 :

26,7X1 +17,33X2  -513, 33=0

17,33X1 +12X2  -333 ,32 =0

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при X2  (первое делим на 17,33, второе на 12). Получим:

1,54X1 +X2  -29,62 =0

1,44X1 +X2  -27,28 =0

Вычтем из первого уравнения второе. Тогда получим:

X1 =23,4

X2  = -6,4

6) Умножаем единичные эпюры на найденные значения X1 ,  X2. 

Получим эпюры M1xи M2x2

2014-12-13 22-45-53 Скриншот экрана

При построении эпюры M2x2  следует обратить внимание на то, что значение x2  — отрицательное.

7) строим окончательную эпюру моментов, складывая эпюры:  

Мок = M1x1+M2x2+MF

2014-12-13 22-53-45 Скриншот экрана

MFл= 93,6 — 12,8 -100 = — 19,2  кНм  (сжатые волокна внизу)                      

MFпр= -40 кНм   (сжатые волокна внизу)

MFниз= 93,6 -12,80 – 60 = 20, 8 кНм       (сжатые волокна справа)     

ME= 46,8 – 12,8 – 40 = -6 кНм  (сжатые волокна слева)  

Посчитаем так же момент в середине действия распределённой нагрузки

Mср= 70,2 – 12,8 – 55 = 2,4 кНм (сжатые волокна справа)

8) Произведем проверки окончательной эпюры М

Статическая проверка (методом вырезания узлов рамы — они должны находиться в равновесии):

2014-12-14 00-27-23 Скриншот экранаверно 

Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%.

2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

Эпюра Ms = M1 + M2     Это суммарная единичная эпюра: к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1.

 

2014-12-14 00-45-18 Скриншот экрана

Сначала проверим коэффициенты канонических уравнений.

1  проверка.

Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij

Произведение суммарной эпюры саму на себя должно равняться сумме единичных коэффициентов.

2014-12-14 01-00-12 Скриншот экранаверно

Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Произведение суммарной эпюры на грузовую эпюру должно равняться сумме грузовых коэффициентов.

2014-12-14 01-12-06 Скриншот экрана

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

И наконец, третья, деформационная проверка.2014-12-14 00-31-06 Скриншот экрана

2014-12-14 01-30-13 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2014-12-14 01-31-03 Скриншот экрана, что допустимо.

9) построим эпюру поперечной силы Q по Мок:

2014-12-13 23-29-14 Скриншот экрана

где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка. Моменты берутся со своими знаками, l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

 QAF=(-19,2 — 0)/2= -9,6 кН

QFB=(0 – (-40))/2=20 кН

QDE=(0 — (-6))/2=3 кН

На участке EF приложена распределённая нагрузка. Рассмотрим этот участок отдельно.2014-12-13 23-47-34 Скриншот экрана

Мправ  =   -20,8  , Млев  =   6

Значение поперечной силы в точке E:

2014-12-14 12-34-30 Скриншот экрана

Значение в точке F найдём:

2014-12-14 00-21-23 Скриншот экрана

Строим эпюру Q

2014-12-14 13-40-09 Скриншот экрана

10) Построение эпюры N по Q методом вырезания узлов

Вырезаем узел, к узлу прикладываем известные поперечные силы с эпюры Q с соответствующим знаком  (+ по часовой стрелке), неизвестные продольные силы,   и рассматриваем равновесие данного узла.  Знаки у продольных сил —  от узла — растяжение.

Рассмотрим узел Е

2014-12-14 13-17-56 Скриншот экрана

∑х = 0,    — 3 -3,4 + N = 0      N = 6,4 (растяжение)  

Рассмотрим узел F

2014-12-14 14-29-25 Скриншот экрана

∑х = 0,    — N1 + 23,4 = 0

              N1 = 23,4 кН  (сжатие –к узлу)

 

     ∑у = 0 ,  N2 – 9,6  – 20= 0

              N2 = 29,6 кН (сжатие –к узлу)

Строим эпюру N

2014-12-14 13-34-21 Скриншот экрана

11) Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков),  и проверяется равновесие рамы в целом

2014-12-14 14-21-58 Скриншот экрана

 

2014-12-14 14-59-33 Скриншот экрана

 Все проверки выполняются.