Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для статически неопределимой рамы требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил,  проверить правильность построения эпюр. Дано:  L=8 м, F=4кН, q=2 кН/м, h=8 м, соотношение жесткостей  I1=2I, I2=I

2015-01-12 18-43-49 Скриншот экрана

     Решение:

1. Определяем степень статической неопределимости:  n = R — Ш – 3 = 5 – 0 – 3 = 2,  где R – число всех неизвестных реакций,    Ш – число простых соединительных шарниров, в данной схеме их нет. Рама получилась дважды статически неопределима.

2. Выбираем основную систему путем отбрасывания лишних связей 2015-01-12 18-44-34 Скриншот экранаОсновная система

3. Зарисовываем эквивалентную систему: к основной системе прикладываем всю внешнюю нагрузку и вместо отброшенных связей их неизвестные реакции Х1, Х2 

2015-01-12 18-45-04 Скриншот экранаЭквивалентная система

4. Составляем канонические уравнения:

δ11x1 + δ12x2 + Δ1F = 0

               δ21x1 + δ22x2 + Δ2F = 0 

 5. Строим единичные эпюры: к основной системе прикладываем сначала Х1=1, затем Х2=1. Эпюры моментов построим на растянутых волокнах.

а) Построение эпюры М1 

2015-01-12 19-28-07 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-46-43 Скриншот экрана

б) Построение эпюры М2 

2015-01-12 19-29-22 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-47-18 Скриншот экрана

6. Строим грузовую эпюру моментов. К основной системе прикладываем всю заданную внешнюю нагрузку 

2015-01-12 19-31-00 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 18-48-00 Скриншот экрана

7. Определяем коэффициенты канонических уравнений по формуле Симпсона:

2015-01-12 19-32-16 Скриншот экрана

8. Проверяем коэффициенты канонических уравнений.

Для этого строим суммарную единичную эпюру : к основной системе  прикладываем одновременно Х1=1 и  Х2=1. Эпюра Ms = M1 + M22015-01-12 19-17-28 Скриншот экрана

а) Первая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ Ms = ∑δij 

При умножении суммарной единичной эпюры саму на себя мы должны получить сумму единичных коэффициентов канонических уравнений

2015-01-12 19-35-41 Скриншот экранаверно

б) Вторая проверка заключается в равенстве: Ms ∙ MF = ∑ΔiF

Умножая суммарную единичную эпюру на грузовую, мы должны получить сумму грузовых коэффициентов

2015-01-12 19-38-03 Скриншот экранаверно

Все проверки выполняются, значит, коэффициенты определены верно.

9. Решаем систему канонических уравнений:

2015-01-12 19-39-16 Скриншот экрана

10. Строим окончательную эпюру моментов Мок   по формуле:

         Мок = MF + M1 ∙ x1 + M2 ∙ x2

2015-01-12 21-17-28 Скриншот экрана

2015-01-12 19-18-59 Скриншот экрана

 

11. Проверки окончательной эпюры моментов М­ОК:

а) Статическая проверка: заключается в проверке равновесия вырезанных узлов. Вырезается узел, пунктирной линией показываются растянутые волокна, прикладываются узловые моменты со стороны растянутых волокон и проверяется равновесие вырезанного узла

Выполним статическую проверку вырезанием узлов 

2015-01-12 19-19-40 Скриншот экрана

Узды находятся в равновесии

б) Деформационная проверка: заключается в определении перемещений по направлению отброшенных связей. Эти перемещения должны быть равны нулю. Ошибка может составлять не более 5%. Для выполнения этой проверки умножим окончательную эпюру моментов на суммарную эпюру единичных моментов.

2015-01-12 21-21-05 Скриншот экрана

Ошибка составляет: 2015-01-12 21-21-59 Скриншот экрана

12. По эпюре МОК строим эпюру поперечных сил Q  с использованием формулы:  2015-01-12 21-22-52 Скриншот экрана, где Мпр и Млев – моменты с эпюры Мок, соответственно с правой и с левой стороны участка . Моменты берутся со своими знаками,  l— длина участка, q — распределенная нагрузка на участке. Если нагрузки на участке нет, и эпюра моментов представляет собой прямую линию, то в формуле полагаем q=0.

2015-01-12 19-20-18 Скриншот экрана

2015-01-12 21-25-23 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 19-20-50 Скриншот экрана

13. По эпюре Q  строим эпюру продольных сил N : вырезаем узел, к узлу прикладываем неизвестные продольные силы в положительном направлении (от узла — растяжение), затем известные поперечные силы с эпюры Q со своим знаком (+ по часовой стрелке) и рассматриваем равновесие данного узла.

Вырезаем узел 1

2015-01-12 21-27-30 Скриншот экрана

Вырезаем узел 2

2015-01-12 21-28-41 Скриншот экрана

Строим эпюру

2015-01-12 21-29-49 Скриншот экрана

14. Общая статическая проверка: зарисовывается исходная рама, в опорах показываются все реакции (их числовые значения необходимо брать с построенных эпюр M, Q, N с учетом знаков), заданная нагрузка и проверяется равновесие рамы в целом

2015-01-12 21-31-10 Скриншот экрана

Составляем уравнения равновесия:

2015-01-12 21-32-31 Скриншот экрана

Все проверки выполняются.