Задача 3

Стальной ступенчатый брус нагревается на 50˚. Построить эпюры N, σ, δ и проверить прочность при [σ]=160МПа.

2014-09-02 21-38-08 Скриншот экрана

В процессе нагрева брус стремится к увеличению своей длины, но опоры этому препятствуют. Поэтому естественно предположить возникновение опорных реакций, направленных навстречу друг другу (см. схему). Для их определения имеем одно-единственное уравнение статики:

у= — A+ В = 0.                                   (1)

Здесь два неизвестных, поэтому задача статически неопределима, и для получения дополнительного уравнения нужно сформулировать условие совместности деформаций двух участков бруса. Очевидно, что в условиях двух жёстко закрепленных концов длина бруса измениться не может и, следовательно, абсолютная деформация его должна равняться нулю:

=∆I+∆II=0.

Известно, что в статически неопределимых системах, испытывающих температурное воздействие, абсолютная деформация складывается из силовой части и температурной, то есть

2014-09-02 21-39-13 Скриншот экрана

В нашем случае:

2014-09-02 21-40-10 Скриншот экрана

В частности, 1=2=а, α12=α и Е1=Е2=Е.

С учетом этих соотношений подстановка в условие совместности деформаций даст:

2014-09-02 21-41-05 Скриншот экрана

откуда после сокращений имеем:

2014-09-02 21-42-02 Скриншот экрана

Это и есть (2) второе (дополнительное уравнение).

Далее методом сечений выразим неизвестные внутренние силы N1 и  N2 через неизвестные опорные реакции (лучше через одну из них):

2014-09-02 21-43-02 Скриншот экрана

 

у = - AN1 = 0, откуда: N1 = — А.

2014-09-02 21-43-59 Скриншот экрана

у = - AN2 = 0, откуда: N2 = — А.

С учетом этих соотношений уравнение (2) примет вид:

2014-09-02 21-45-12 Скриншот экрана

Тогда N1= N2=-83,33кН (сжатие).

Напряжения:

2014-09-02 21-46-14 Скриншот экрана

Таким образом, верхняя часть бруса испытывает перенапряжение на

2014-09-02 21-47-09 Скриншот экрана

а в нижней части условие прочности выполняется.

Перемещение защемленного верхнего сечения (0) равно нулю: δ(0)=0.

Перемещение границы участков (1) определяется абсолютной деформацией верхнего участка бруса:

2014-09-02 21-48-07 Скриншот экрана

Перемещение нижнего сечения (2) определяется ради контроля:

2014-09-02 21-49-07 Скриншот экрана

Результаты расчета представляются в виде эпюр:

2014-09-02 21-49-58 Скриншот экрана