Задача 4

Стальной ступенчатый брус с зазором. До нагружения между нижним концом и опорой имел место зазор ∆=0,1мм.

Требуется: Определить усилия после приложения нагрузки F=200кН и проверить прочность бруса, если [σ]стали=160МПа, [σ]меди=120МПа. Построить эпюры продольных усилий N, нормальных напряжений σ и перемещений δ.

2014-09-02 20-57-30 Скриншот экрана

 При закрытии зазора возникнет реакция не только в верхней, но и в нижней опоре. Предположим, что они направлены так, как показано на схеме (А и В). Для их определения можно составить всего одно уравнение статики:

у = AF+ B= 0.                                                                                         (1)

Неизвестных получается больше, чем уравнений статики. Значит, задача статически неопределима, и требуется дополнительное уравнение совместности деформаций участков бруса. Очевидно, что в данном случае совместность деформации двух участков состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, то есть:

= ∆, или ∆I+ ∆II= ∆.

Используя формулу Гука, будем иметь:

2014-09-02 20-58-51 Скриншот экрана

Это и есть дополнительное (геометрическое) уравнение (2).

Теперь следует применить метод сечений, чтобы неизвестные усилия выразить через неизвестные опорные реакции (через какую-то одну из них).

Так, рассматривая верхнюю часть первого участка найдем:

2014-09-02 21-16-40 Скриншот экрана

у = AN1 = 0, откуда N1 = А.

А из равновесия верхней же части бруса (выше произвольного сечения второго участка).

2014-09-02 21-17-39 Скриншот экрана

у = AFN2 = 0,

откуда N2 = А F

После подстановки в уравнение (2) получаем уравнение для определения реакции А:

2014-09-02 21-19-12 Скриншот экрана

Умножаем все на

2014-09-02 21-20-39 Скриншот экрана

Тогда будем иметь:

2014-09-02 21-21-42 Скриншот экрана

Подставим исходные данные:

2014-09-02 21-22-40 Скриншот экрана

или 3,25А=15·104 +45· 104=60·104, откуда

2014-09-02 21-23-58 Скриншот экрана

Тогда  N1 =185кН (растяжение),

N2=185-200=-15кН (сжатие).

Результаты показаны на эпюре N.

С целью проверки прочности находим напряжения и сравниваем их с допускаемыми величинами:

2014-09-02 21-24-57 Скриншот экрана

Условия прочности выполняются.

Для построения эпюры перемещений нумеруем границы участков: (0), (1) и (2).

Так, перемещение сечения (0) невозможно, т.к. оно опорное. Значит δ(0)=0. Перемещение сечения (1) равно удлинению верхнего участка бруса между сечением (1) и неподвижным сечением (0):

2014-09-02 21-25-59 Скриншот экрана

Перемещение сечения (2) складывается из перемещения сечения (1) и удлинения участка между сечениями (2) и (1), то есть:

2014-09-02 21-27-27 Скриншот экрана

что и соответствует величине зазора ∆=0,1мм.

Такое совпадение служит контролем правильности всего расчета.