Задача 5

Ступенчатый брус защемлен  обоими концами. Проверить прочность  бруса, если [σ]стали=160МПа, [σ]меди=120МПа, Естали=2·1011Па, Емеди=1·1011Па.

2014-09-02 20-41-50 Скриншот экрана

В каждой из двух опор возможно возникновение опорных реакций. Направления их нам неизвестны. Поэтому принимаем произвольные, но обязательно показываем эти принятые направления реакций на схеме (А и В).

Далее «разбиваем» брус на участки. В дополнение к вышесказанному, за границы участков, кроме точек приложения внешних сил и мест резкого изменения размеров сечений, следует принимать и места, где изменяется вид материала.

В данном случае все эти три признака совпали в одном месте, и поэтому число участков два (на схеме Ι и ΙΙ).

При расчёте брусьев начинать следует с определения опорных реакций, для чего составляется уравнение статики:

у = AF+ B= 0.                                                                                          (1)

В этом одном уравнении две неизвестных силы: А и В. Потребуется дополнительное уравнение, выражающее мысль о совместности деформаций участков бруса I и II. А условие совместности деформаций при наличии двух защемлений по концам состоит в невозможности изменения общей длины бруса (или в отсутствии удлинения): ∆=0.

Полное удлинение ∆ складывается из удлинений участков: ∆=∆I+∆II.

Если учесть, что участки I и II отличаются и длиной, и размером поперечных сечений, и даже видом материала, то:

2014-09-02 20-43-21 Скриншот экрана

Это и есть дополнительное (геометрическое) уравнение (2).

Правда, если судить формально, то уравнения (1) и (2) не образуют системы совместных уравнений, поскольку включают в себя разные неизвестные: в уравнении (1) это реакции А и В, а в уравнении (2) – усилия N1 и N2. Чтобы исключить это несоответствие, следует воспользоваться методом сечений и выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции.

Так, мысленно разрезав брус в произвольном сечении I участка и рассматривая равновесие верхней части, найдем:

2014-09-02 20-44-32 Скриншот экрана

у = AN1 = 0, откуда N1 = А

А разрезав брус в произвольном сечении II участка и рассмотрев равновесие опять же верхней части, будем иметь:

2014-09-02 20-46-25 Скриншот экрана

у = AFN2 = 0,

откуда N2 = А F

Если подставить найденные выражения в уравнение (2), то из него сразу найдем значение реакции «А», а из записанных выше соотношений  узнаем величины усилий N1 и N2.

Итак:

2014-09-02 20-48-39 Скриншот экрана

Тогда:

2014-09-02 20-49-37 Скриншот экрана

Прежде чем подставить исходные данные, полезно отметить важнейшие особенности расчета и свойства статически неопределимых конструкций:

1. Невозможно определить численные значения усилий в элементах (участках) статически неопределимых систем, если заранее не задаваться соотношениями жесткостей этих элементов и размеров, т.е.

2014-09-02 20-51-50 Скриншот экрана

2. В статически неопределимых системах «более жесткий» элемент «принимает на себя» большую долю общей нагрузки. И происходит это автоматически. Если, например, нам хочется «облегчить» работу какому-то элементу конструкции, то достаточно сделать его менее жестким (уменьшить модуль упругости или площадь сечения…)

Возвращаясь к задаче, подставляем исходные данные и находим:

2014-09-02 20-53-03 Скриншот экрана

Для проверки прочности вычисляем напряжения и сравниваем их с допускаемыми для каждого материала:

2014-09-02 20-54-10 Скриншот экрана

Оба условия прочности выполняются.