Задача 6

Подобрать сечения стальных стержней, поддерживающих абсолютно жёсткую балку, если [σ]=160МПа, α=45˚, при заданном соотношении

2014-09-02 18-25-38 Скриншот экрана

2014-09-02 18-26-36 Скриншот экрана

В шарнирно-неподвижной опоре А возможно возникновение двух реакций R и Н, а в двух других опорах – по одной вдоль стержней (R1 и R2). Но, как это принято, начнем сразу с метода сечений. Для этого замкнутым разрезом выделяем среднюю часть системы и рассматриваем её равновесие:

2014-09-02 18-27-49 Скриншот экрана

х=Н+ N1·sinα=0,                (1)

у=R-q·3-N2+N1·cosα =0,     (2)

M(A)=-N2·1+N2·cosα·3- (q·3)·1,5=0.  (3)

Количество неизвестных на 1 больше числа уравнений статики. Значит, система статически неопределима. Для получения дополнительного (геометрического) уравнения рассмотрим возможную картину деформации системы:

2014-09-02 18-29-36 Скриншот экрана

Из подобия треугольников АСС1 и АВВ1:

2014-09-02 18-30-53 Скриншот экрана

Но: ВВ1=∆2 (укорочение),

а СС1 связано с ∆1 как гипотенуза и катет треугольника СС1D:

2014-09-02 18-32-17 Скриншот экрана

По малости изучаемых перемещений следует считать, что угол α'=α и тогда

2014-09-02 18-33-16 Скриншот экрана

Подставляя ВВ1 и СС1 в пропорцию

2014-09-02 18-34-56 Скриншот экрана

имеем:

2014-09-02 18-36-22 Скриншот экрана

В рассмотренной нами картине деформаций ∆ℓ1 является удлинением

2014-09-02 18-38-59 Скриншот экрана

а2 – укорочением

2014-09-02 18-40-00 Скриншот экрана

Тогда уравнение деформаций будет:

2014-09-02 18-41-37 Скриншот экрана

При α=45˚ и заданном соотношении площадей поперечных сечений стержней

2014-09-02 20-30-47 Скриншот экрана

уравнение примет вид:

2014-09-02 20-31-44 Скриншот экрана

откуда: -4N1 = 2,12N2,  или N1 = – 0,53N2.      (4)

Подставляя (4) в (3):

N2 + (– 0,53N2)·0,707·3 – 30·3·1,5 = 0,

откуда найдем N2 = – 63,54кН (сжатие),

и тогда N1 = – 0,53 (– 63,54) = 33,68кН (растяжение).

Далее осуществляем подбор сечений стержней. При этом мы обязаны выполнить условие

2014-09-02 20-30-47 Скриншот экрана

при котором были найдены значения усилий. Поэтому: сечение одного из стержней следует подобрать из условия прочности, а сечение другого назначить по заданному соотношению , но после этого обязательно проверить, удовлетворяет ли назначенное таким образом сечение условию прочности. Итак, начнем с первого стержня. Его условие прочности:

2014-09-02 20-34-36 Скриншот экрана

Площадь сечения второго стержня назначаем:

А2=2·А1=2·0,21·10-3=0,42·10-3м2.

Проверяем, достаточна ли эта величина для второго стержня, т.е. выполняем проверку прочности второго стержня при А2=0,42·10-3м2:

2014-09-02 20-35-39 Скриншот экрана

условие прочности выполняется.