Задача 7

Проверить прочность стальных стержней, поддерживающих жёсткую балку, шарнирно закрепленную одним концом, если [σ]=160МПа.

2014-09-02 18-08-46 Скриншот экрана

Здесь в опорных точках возможно появление реакций: R, Н, R1 и R2. Но при расчёте шарнирно-стержневых систем начинать расчёт  с их определения нецелесообразно.    Гораздо эффективнее сразу применить метод сечений. Так, одним замкнутым разрезом выделим среднюю часть и рассмотрим её равновесие под действием внешних и внутренних сил:

2014-09-02 18-10-29 Скриншот экрана

х = Н = 0,                                 (1)

у = R+ N1 N2 q·3 = 0,          (2)

M(A)=-N2·1+N2·3- (q·3)·1,5=0. (3)

В этих трёх уравнениях статики содержатся 4 неизвестных силы: R, Н, N1 и N2. Значит, задача статически неопределима. Требуется одно дополнительное (геометрическое) уравнение. Для его формирования рассматриваем возможную картину деформации:

2014-09-02 18-11-47 Скриншот экрана

Очевидно, что:

2014-09-02 18-13-09 Скриншот экрана

условие совместности деформаций.

Но СС1=∆1, а ВВ1=∆2.

Тогда условие совместности деформаций примет вид:

2014-09-02 18-14-06 Скриншот экрана

При расчёте шарнирно-стержневых систем необходимо учитывать характер деформаций, соответствующих рассматриваемой возможной картине деформаций, то есть если в нашей картине стержень удлиняется, то величине абсолютной деформации следует присвоить знак «плюс», а если укорачивается, то знак «минус».

В данном случае рассматриваемая картина показывает, что стержень №1 удлиняется, стержень №2 – укорачивается.

Поэтому:

2014-09-02 18-15-27 Скриншот экрана

(+, т.к. удлинение),

2014-09-02 18-17-18 Скриншот экрана

(- , т.к. укорочение).

Подстановка в условие совместности деформации даёт уравнение совместности деформаций (4):

2014-09-02 18-18-39 Скриншот экрана

В нашем случае 1=1,8, 2=, А1=2см2, А2=4см2.

Поэтому:

2014-09-02 18-19-52 Скриншот экрана

Тогда из уравнения (3) найдём:

-N2·1 + (-0,83N2)·3 — q·3·1,5 = 0,

-3,49N2 q·4,5 = 0,

2014-09-02 18-21-21 Скриншот экрана

а N1=-0,83 (-38,7)=32,1кН (растяжение).

Далее с целью проверки прочности находим напряжения в стержнях и сравниваем их с допускаемой величиной:

2014-09-02 18-23-08 Скриншот экрана

Если не принимать во внимание незначительное перенапряжение первого стержня, можно считать, что условия прочности удовлетворяются.