Задача 8

Стальной брус, жестко заделанный по концам, подвергается равномерному нагреву на ∆t˚. Найти усилие в поперечных сечениях бруса.

2014-09-02 17-58-16 Скриншот экрана

Решим задачу в общем виде.

Как известно, при нагреве твердые тела расширяются. В данном случае брус стремится увеличить свою длину. Но этому препятствуют жесткие опоры, следовательно в них возникнут реакции. Обозначим их буквами А и В. Что касается их направлений, то здесь они очевидны. Уравнение равновесия бруса одно:

х = А В = 0,  (1)

А поскольку на брус будут действовать внешние силы (А и В), то возникнет и внутреннее усилие N, которое нам предлагается определить. С помощью метода сечений находим:

N= ─ A, но значение реакции А неизвестно, и из уравнения статики (1) его определить невозможно.

Значит, задача оказывается статически неопределимой, и для ее решения нужно дополнительное уравнение. Оно формулируется из рассмотрения картины деформации или условий деформирования. А они здесь таковы, что удлинение (изменение длины) бруса, закрепленного по концам, оказывается невозможным, то есть

= 0.

В данном случае (при изменении внешней температуры) в брусе одновременно возникают два вида деформаций: силовая (от продольной силы N) и температурная (от перепада температур). Силовая часть деформации определяется формулой Гука

2014-09-02 17-59-43 Скриншот экрана

а температурная по известной из курса физики формуле α·∆t·. Складывая их, имеем:

2014-09-02 18-00-49 Скриншот экрана

А подставляя в условие деформации (∆=0), получаем:

2014-09-02 18-03-09 Скриншот экрана

это и есть дополнительное (2), геометрическое по своей природе, уравнение. Решая его относительно N, найдем:

N=─ α·∆t·EA (сжатие).

Здесь α – коэффициент линейного расширения материала.

Например, для стали

2014-09-02 18-04-44 Скриншот экрана

а для меди

2014-09-02 18-05-55 Скриншот экрана