Задача

Определить грузоподъемность (допускаемую нагрузку [F]) шарнирно-стержневой системы для двух случаев:

  1. Если материал стержней пластичный (сталь – 3, [σ]=160 МПа),
  2. Если материал стержней хрупкий (чугун — [σр]=20 МПа, [σс]=80МПа).

2014-09-01 22-25-28 Скриншот экрана

Сначала необходимо найти усилия в стержнях, оставляя нагрузку в общем (буквенном) виде. Начинаем с использования метода сечений: делаем сквозной (замкнутый) разрез и рассматриваем равновесие средней части (неизвестные усилия при этом предполагаем положительными, т.е. растягивающими): 2014-09-01 22-30-21 Скриншот экрана

х = Н = 0,       (1)

у = R+N1F-N2=0,    (2)

М(А)= N1·1 — F·2 – N2·3=0, (3)

В этих трёх уравнениях статики содержатся 4 неизвестных, следовательно, задача один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости придётся составить одно дополнительное уравнение, но уже не статическое, а геометрическое, которое выражало бы условие совместности деформаций всех упругих элементов системы. С этой целью следует рассмотреть систему в деформированном состоянии с тем, чтобы «связать» друг с другом абсолютные деформации первого и второго стержней. Картина возможной деформации системы:

2014-09-01 22-37-38 Скриншот экрана

Очевидно, что ВВ1 – удлинение первого стержня (∆1), а СС1 – укорочение второго (∆2). Из подобия треугольников

2014-09-01 22-40-13 Скриншот экрана

или

2014-09-01 22-44-30 Скриншот экрана

По формуле Гука:

2014-09-01 22-49-05 Скриншот экрана

(знак «плюс» соответствует деформации удлинения), а

2014-09-01 22-50-46 Скриншот экрана

(знак «минус» соответствует деформации укорочения). После подстановки получим необходимое нам дополнительное уравнение:

2014-09-01 22-52-19 Скриншот экрана      (4)

Т.к. 1=2, 2=, А1= 2см2, А2= 4см2, то

2014-09-01 22-53-58 Скриншот экрана ,

откуда N2=-12N1. Подставляя это соотношение в уравнение (3), имеем: N1·1- F·2 — (-12N1) 3=0, откуда

2014-09-01 23-03-38 Скриншот экрана(растяжение), и тогда

2014-09-01 23-05-33 Скриншот экрана (сжатие).

Напряжения в стержнях будут:

2014-09-01 23-17-50 Скриншот экрана

Для определения допускаемой нагрузки используем условия прочности при растяжении-сжатии.

Случай 1. Оба стержня из пластичного материала, который одинаково сопротивляется как растяжению, так и сжатию. Для него достаточно одного условия прочности:

|maxσ| ≤ [σ].

Наибольшим по абсолютной величине оказывается напряжение во втором стержне. Его и вводим в условие прочности. Допускаемая нагрузка (или грузоподъёмность) – это такая величина нагрузки, при которой напряжение в точности равно допускаемому значению (т.е. в условии прочности необходимо оставить знак равенства) 2014-09-01 23-20-01 Скриншот экрана

Случай 2. Оба стержня из хрупкого материала. В этом случае требуется выполнение двух условий прочности: а) по растяжению: maxσр ≤ [σр],

б) по сжатию |maxσс| ≤ [σс].

Начинать можно с любого из них. Например, из первого условия: 2014-09-01 23-23-11 Скриншот экрана

найдём одно значение допускаемой нагрузки (по растяжению): 2014-09-01 23-24-37 Скриншот экрана

Если принять это значение за допускаемую нагрузку, то во втором стержне возникает напряжение

2014-09-01 23-26-57 Скриншот экрана

Это напряжение превышает допускаемое значение по сжатию: |σII| =120МПа > [σр]=80МПа, следовательно, нагрузка [Fр] не является допускаемой для всей конструкции. Поэтому будем определять допускаемую нагрузку из второго условия прочности: 2014-09-01 23-28-31 Скриншот экрана Остается лишь убедиться, что при такой нагрузке в первом стержне условие прочности будет выполнено.2014-09-01 23-29-43 Скриншот экрана

что меньше допускаемого по растяжению напряжения [σр]=20МПа. Итак, для варианта стержней из хрупкого материала допускаемая нагрузка [F]=49,333 кН.