Задача

К стальному валу приложены три известных момента: 2014-12-23 21-36-04 Скриншот экрана

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;  4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины). 2014-12-23 21-38-46 Скриншот экрана

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

2014-12-24 00-04-56 Скриншот экрана

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.2014-12-23 21-47-46 Скриншот экрана

Данный угол поворота  является суммой углов поворота вала на каждом участке:

2014-12-23 21-48-38 Скриншот экрана

Угол поворота на участке определяется по формуле:

2014-12-23 21-53-07 Скриншот экрана, где М к  - крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига2014-12-23 23-14-49 Скриншот экрана - для стали

2014-12-23 21-59-45 Скриншот экрана - полярный момент инерции  2014-12-23 23-18-07 Скриншот экрана

Таким образом, 2014-12-23 22-09-43 Скриншот экрана, и с учетом условия задачи:

2014-12-23 22-22-41 Скриншот экрана

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

2014-12-23 22-26-25 Скриншот экрана (1)

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

2014-12-23 22-40-14 Скриншот экрана

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2014-12-23 22-46-27 Скриншот экрана

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов  Мк найденные значения Х.

2014-12-23 22-50-25 Скриншот экрана

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

2014-12-24 00-06-03 Скриншот экрана

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

2014-12-23 22-52-39 Скриншот экрана, где2014-12-23 22-54-54 Скриншот экрана -максимальное касательное напряжение,

2014-12-23 22-55-50 Скриншот экрана - максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

2014-12-23 22-57-25 Скриншот экрана - полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:2014-12-23 23-06-00 Скриншот экрана

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

2014-12-23 23-18-51 Скриншот экрана

Угол поворота в левой опоре  равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может: 2014-12-23 23-20-36 Скриншот экрана

2014-12-23 23-52-08 Скриншот экрана

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

2014-12-24 00-01-56 Скриншот экранаПолученный результат переведем в градусы на метр длины: 2014-12-24 00-02-46 Скриншот экрана