Расчет статически неопределимой балки

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки.2019-05-04_10-00-50Вычислим степень статической неопределимости балки по формуле:

n= ΣШ — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — RВ.

Будем считать, что заданная балка (а) получилась из статически определимой балки, с защемленным концом А, к которой поставили добавочную опору В.

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

2019-05-04_10-02-34

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию RВ (рис.в).

2019-05-04_10-03-31

Однако для эквивалентности этого недостаточно, поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали, а в заданной балке (рис.а) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие, что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0. Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки ΔF и от прогиба от «лишней» реакции ΔR.

Тогда составляем условие совместности перемещений:

ΔF + ΔR=0                          (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру МF   (рис. д).

2019-04-14_20-04-06

В т.В приложим 2019-04-14_20-01-55 и построим эп. 2019-04-14_20-03-03 (рис.е,ж).

2019-04-14_20-06-14

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки.

2019-04-14_20-07-17

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции RВ, для этого загружаем основную систему RВ (рис.з) и строим эпюру моментов от ее действия МR (рис. и).

2019-05-04_10-08-13

2019-04-14_20-09-53

Составляем и решаем уравнение (1):

2019-04-14_20-11-15

Статическая неопределимость раскрыта.

Построим эп. Q и М (рис. к,л).2019-05-04_10-09-32

Задача решена.