Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов

Как рассчитать неразрезную балку. Уравнение 3-х моментов.

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

Схема неразрезной балки

Схема неразрезной балки

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3)

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι1,ι2,ι3)

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке, будем обозначать с индексом «0», то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом,  2015-03-07 22-24-29 Скриншот экрана— это поперечная сила и изгибающий момент для простой  балки.

Рассмотрим балку 1го пролета

2015-03-07 22-30-03 Скриншот экрана2015-03-07 22-30-50 Скриншот экрана

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции...)2015-03-07 22-32-58 Скриншот экрана

Балка 2го пролета

2015-03-07 22-36-14 Скриншот экрана2015-03-07 22-36-52 Скриншот экрана

Балка 3го пролета2015-03-07 22-37-56 Скриншот экрана2015-03-07 22-53-24 Скриншот экрана

5. Составляем уравнение 3х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2.  Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:2015-03-07 22-55-58 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 1 (n=1):2015-03-07 22-57-10 Скриншот экрана

Для точки (опоры) 2 (n=2):2015-03-07 22-58-03 Скриншот экрана

Подставляем все известные величины, учитываем, что момент  на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю,  M0=0; M3=0

Тогда получим:2015-03-07 22-59-31 Скриншот экрана

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M2 

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M2   

Решим эту систему уравнений:2015-03-07 23-00-22 Скриншот экрана

Из первого уравнения вычтем второе, получим:2015-03-07 23-12-20 Скриншот экрана

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M2

2015-03-07 23-13-30 Скриншот экрана

Итак, нашли опорные моменты:2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

  1. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:2015-03-07 23-16-35 Скриншот экранагде n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

2015-03-07 23-17-52 Скриншот экранаЭта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 . 

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

2015-03-07 23-20-51 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.    

3)Построение эп. Q в третьем пролете:

2015-03-07 23-23-21 Скриншот экранаПоперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.  

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки. 2015-03-07 23-27-25 Скриншот экрана2015-03-07 23-28-33 Скриншот экрана

7Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки. Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов,   соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.2015-03-07 23-14-49 Скриншот экрана

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания».  К эпюре опорных моментов  "подвешиваем"  эпюру Mпо разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M ордината равна 90,  а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

2015-03-07 23-37-47 Скриншот экрана, где n-пролет , x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:2015-03-07 23-40-23 Скриншот экрана

Построение эп. М во 2ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К. по эпюре Q — это точка экстремума.

2015-03-07 23-43-40 Скриншот экрана

Определим М неразрезной балки во 2ом пролете в этой точке:2015-03-07 23-45-16 Скриншот экрана Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:2015-03-07 23-47-49 Скриншот экрана2015-03-07 23-48-26 Скриншот экрана

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:2015-03-07 23-49-53 Скриншот экрана

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций. Покажем реакции  2015-03-07 23-52-57 Скриншот экрана на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

2015-03-07 23-54-56 Скриншот экрана

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.2015-03-08 00-00-50 Скриншот экрана

Подставим значения, получим 340-340=0

Проверка верна.