Расчет призматической оболочки (теория В.З. Власова)

Для тонкостенной призматической оболочки заданного сечения требуется:

  1. Выполнить расчет оболочки как пространственной системы с помощью теории В.З.Власова, определив наибольшие значения следующих параметров:

-         поперечного перемещения (прогиба) vmax,

-         изгибающего момента  Мmax,

-         нормального напряжения продольного направления σmax,

-         касательного напряжения в поперечном сечении τmax.

  1. Выполнить расчет оболочки как плоской рамы единичной ширины и определить значения тех же параметров.
  2. Сопоставить результаты пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы и сделать выводы.

Толщина всех граней оболочки    2014-12-27 20-00-48 Скриншот экрана

Оба торца оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из их плоскости и абсолютно жесткие в плоскости.

2014-12-27 20-01-55 Скриншот экрана

Схема элементарной рамы — полоски

2014-12-27 20-03-04 Скриншот экрана

Степень свободы узлов рамы «из плоскости сечения оболочки» m=3степень свободы узлов «в плоскости сечения» n=1.

Но с учетом обратно-симметричного характера перемещений степень свободы снижается до m1=1 и  n=1, в соответствии с чем аппроксимирующая функция  должна иметь обратно симметричный характер. Учитывая это обстоятельство, принимаем базисные функции в следующем виде:

2014-12-27 20-05-03 Скриншот экрана

Стрелки в эпюре  2014-12-27 20-05-59 Скриншот экрананаправлены в сторону возможного линейного смещения узлов.

Стрелки в эпюре 2014-12-27 20-06-54 Скриншот экрана показывают направление, в котором функция 2014-12-27 20-07-33 Скриншот экрана возрастает.

Для решения задачи применим метод тригонометрических рядов. Будем считать, что торцы оболочки опираются на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости. Таким граничным условиям соответствуют тригонометрические ряды:

2014-12-27 20-08-40 Скриншот экрана

Ограничимся одними первыми членами разложения. Тогда

2014-12-27 20-09-37 Скриншот экрана

а система разрешающих уравнений В.З.Власова для случая m=1 и n=1 примет вид:

2014-12-27 20-10-30 Скриншот экрана  (1), где:

2014-12-27 20-11-35 Скриншот экрана

Вычисляем коэффициенты разрешающих уравнений, применяя способ Симпсона:

2014-12-27 20-12-35 Скриншот экрана

А для вычисления коэффициента 2014-12-27 20-13-54 Скриншот экрананеобходимо построить эпюру изгибающих моментов в элементарной раме-полоске от смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). Поскольку рама статически неопределима, то придется применить либо метод сил, либо метод перемещений. Ниже приводим оба этих варианта.

а)  Вариант построения эпюры М1(s) методом сил.

Порядок построения:

  1. В направлении возможного поперечного смещения узлов рамы приложить неизвестную пока силу «r» и с помощью метода сил построить эпюру М®.
  2. В том же направлении приложить единичную силу  с целью построения эпюры моментов вспомогательного состояния. С целью экономии сил и времени эту эпюру можно получить, разделив все ординаты эпюры М® на «r», то есть 2014-12-27 20-17-50 Скриншот экрана

3.   Вычислить поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр 2014-12-27 20-19-54 Скриншот экрана:      2014-12-27 20-21-01 Скриншот экрана

4. Из условия ∆=1 определить величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

5. Ординаты эпюры М® умножить на найденную величины силы «r» и получить тем самым искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). 

Таким образом ,

1)2014-12-27 20-24-53 Скриншот экрана  

Степень статической неопределимости рамы n=2, то есть рама содержит две «лишние» связи. Выбираем основную и эквивалентную системы метода сил:

2014-12-27 20-27-01 Скриншот экрана

Составляем канонические уравнения:

2014-12-27 20-27-42 Скриншот экрана

Строим две «единичные» и одну «грузовую» эпюры моментов:

Единичные эпюры

2014-12-27 20-28-42 Скриншот экрана

Грузовая эпюра

2014-12-27 20-30-02 Скриншот экрана

Вычисляем коэффициенты канонических уравнений перемножением эпюр с помощью формулы Симпсона

2014-12-27 20-32-04 Скриншот экрана

Тогда из системы канонических уравнений находим:

2014-12-27 20-33-06 Скриншот экрана

Строим эпюру 2014-12-27 20-33-56 Скриншот экрана

2014-12-27 20-34-38 Скриншот экрана

2) Прикладываем единичную силу, строим эпюру единичных моментов, разделив М® на r

2014-12-27 20-47-18 Скриншот экрана

3) Вычисляем  поперечное смещение узлов от действия силы «r» «перемножением» эпюр2014-12-27 20-19-54 Скриншот экрана

2014-12-27 21-02-03 Скриншот экрана

4) Из условия ∆=1 определяем величину силы «r», которая вызывает смещение узлов, равное единице.

2014-12-27 21-04-01 Скриншот экрана

5) Находим искомую эпюру моментов от единичного смещения узлов ψ1=1, то есть эпюру М1(s). 

2014-12-27 21-06-25 Скриншот экрана

2014-12-27 21-08-03 Скриншот экрана

б) Вариант построения эпюры М1(s) с помощью метода перемещений.

2014-12-27 21-10-09 Скриншот экрана

Количество неизвестных метода перемещений n=nφ+n=1+0=1

Основная система

2014-12-27 21-11-11 Скриншот экрана

Каноническое уравнение:  2014-12-27 21-12-00 Скриншот экрана

2014-12-27 21-12-46 Скриншот экрана

Определяем коэффициенты канонического уравнения:

2014-12-27 21-13-46 Скриншот экрана

Решение уравнения:

2014-12-27 21-14-51 Скриншот экрана

2014-12-27 21-15-28 Скриншот экрана

Теперь появилась возможность вычисления коэффициента s11:

2014-12-27 21-38-57 Скриншот экрана

Наконец, определяем грузовой коэффициент 2014-12-27 21-39-48 Скриншот экрана

Этот интеграл следует понимать как возможную работу заданной нагрузки на соответствующих ей перемещениях, вызванных «единичным» поперечным смещением узлов элементарной рамы ψ1=1, то есть:

2014-12-27 21-40-49 Скриншот экрана

2014-12-27 21-41-33 Скриншот экрана

Уравнение изогнутой оси той стойки, на которую действует распределенная нагрузка (но не от самой нагрузки, а от смещения узлов ψ1=1) найдем способом интегрирования дифференциального уравнения:

2014-12-27 21-43-11 Скриншот экрана

Знак «минус» здесь поставлен в соответствии с принятым направлением оси «у». Выражение изгибающего момента в произвольном сечении средней стойки будет:

2014-12-27 22-02-15 Скриншот экрана

Величину М и его направление определяем по эпюре M1(s): 

2014-12-27 22-03-07 Скриншот экрана а значение R и ее направление – по эпюре Q (s):

2014-12-27 22-04-01 Скриншот экрана

Тогда дифференциальное уравнение изгиба средней стойки будет:

2014-12-27 22-05-10 Скриншот экрана

что после подстановки M и R даст:

2014-12-27 22-06-02 Скриншот экрана

Интегрируя последовательно дважды, будем иметь:

2014-12-27 22-06-50 Скриншот экрана

Постоянные интегрирования С1 и С2 определим из граничных условий для средней стойки в рассматриваемых условиях (см. схему деформирования от ψ1=1):

2014-12-27 22-08-19 Скриншот экрана

Вычисляем интеграл:

2014-12-27 22-09-19 Скриншот экрана

Если принять      2014-12-27 22-10-44 Скриншот экрана

В разрешающие уравнения входит грузовой коэффициент:

2014-12-27 22-11-55 Скриншот экрана

Все коэффициенты найдены. Подставляем их в систему разрешающих уравнений (1). При этом положим 2014-12-27 22-13-00 Скриншот экрана

Тогда система уравнений будет:

2014-12-27 22-14-01 Скриншот экрана

При заданной длине оболочки ℓ=10d: 

2014-12-27 22-14-50 Скриншот экрана

Решением этой системы уравнений является:

2014-12-27 22-15-38 Скриншот экрана

Тогда искомые перемещения любой точки оболочки будут:

2014-12-27 22-16-29 Скриншот экрана

Найдем наибольшую величину поперечного перемещения оболочки . Очевидно, что оно будет в среднем сечении, при 2014-12-27 22-17-54 Скриншот экрана2014-12-27 22-18-56 Скриншот экрана

Наибольшее нормальное напряжение продольного направления  по формуле

2014-12-27 22-20-11 Скриншот экрана

Наибольшее касательное напряжение по формуле:

2014-12-27 22-21-14 Скриншот экрана

Для определения наибольшего изгибающего момента в оболочке построим эпюру изгибающих моментов поперечного направления. Следуя формуле 2014-12-27 22-22-32 Скриншот экрана, сначала необходимо построить эпюру  2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана в элементарной раме-полоске от заданной нагрузки при условии несмещаемости ее узлов:

2014-12-27 22-24-47 Скриншот экранаСтрелкой показана дополнительная связь, которая  введена искусственно для обеспечения несмещаемости узлов. Очевидно, что сила F никаких изгибных деформаций в такой раме не вызывает, поэтому и эпюра 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана от действия силы F равна нулю.

А вот от распределенной нагрузки изгибающие моменты будут возникать, и эпюру 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана строить надо.

Вариант построения эпюры 2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана с помощью метода сил

Количество неизвестных метода сил n=3 (без дополнительной связи n равнялось двум).

Выберем основную и эквивалентную системы метода сил:

2014-12-27 22-47-15 Скриншот экрана

Строим «единичные» эпюры в основной системе (первые две из них были уже построены ранее):

2014-12-27 22-48-15 Скриншот экрана

2014-12-27 22-48-52 Скриншот экрана

2014-12-27 22-49-31 Скриншот экрана

Строим2014-12-27 22-50-16 Скриншот экрана

2014-12-27 22-50-51 Скриншот экрана

Вариант построения эпюры    2014-12-27 22-23-59 Скриншот экрана  методом перемещений (от действия распределенной нагрузки)

 Число неизвестных метода перемещений 2014-12-27 22-52-16 Скриншот экрана 

Основная система

2014-12-27 22-53-01 Скриншот экрана

2014-12-27 22-54-52 Скриншот экрана

2014-12-27 22-56-08 Скриншот экрана

2014-12-27 22-56-48 Скриншот экрана

Складываем эту эпюру с эпюрой 2014-12-27 22-57-39 Скриншот экрана, помноженной на 2014-12-27 22-58-28 Скриншот экранаучитывая при этом, что 2014-12-27 22-59-09 Скриншот экрана

2014-12-27 22-59-44 Скриншот экрана

Итак, эпюра 2014-12-27 23-00-28 Скриншот экрана  будет:

2014-12-27 23-01-00 Скриншот экрана

Наибольший изгибающий момент в оболочке 2014-12-27 23-01-54 Скриншот экрана

Этап 2. Контрольный расчет оболочки как плоской рамы (то есть без учета пространственной работы)

Вырезаем из оболочки 1 пог.м по длине и выполняем расчет рамы на действие приходящейся на нее нагрузки

Вариант расчета рамы методом сил

2014-12-27 23-03-22 Скриншот экрана

2014-12-27 23-04-24 Скриншот экрана

Построим «грузовую» эпюру и вычислим «грузовые» коэффициенты канонических уравнений:

2014-12-27 23-05-30 Скриншот экрана

2014-12-27 23-07-34 Скриншот экрана

2014-12-27 23-08-25 Скриншот экрана

Для определения поперечного перемещения узлов рамы выбираем вспомогательное состояние и строим эпюру моментов от единичной силы :2014-12-27 23-09-22 Скриншот экрана

2014-12-27 23-10-06 Скриншот экрана

Вариант расчета рамы методом перемещений

Количество неизвестных 2014-12-27 23-11-16 Скриншот экрана .

Основная система:

2014-12-27 23-12-28 Скриншот экрана

2014-12-27 23-13-13 Скриншот экрана

«Грузовая» эпюра моментов:

2014-12-27 23-14-25 Скриншот экрана

Следует отметить ,что от сосредоточенной силы F в узле никаких изгибающих моментов не возникает, но при определении  2014-12-27 23-15-27 Скриншот экрана  она обязательно учитывается, так как 2014-12-27 23-15-27 Скриншот экрана - реакция в линейной связи от всей заданной нагрузки!

 

2014-12-27 23-17-24 Скриншот экрана

2014-12-27 23-19-02 Скриншот экрана

Наибольшее поперечное перемещение узлов рамы

2014-12-27 23-19-55 Скриншот экрана

что, разумеется, совпадает с расчетом методом сил.

Таким образом, и по методу сил, и по методу перемещений расчет оболочки как плоской рамы дает следующие значения наибольшего изгибающего момента и наибольшего перемещения:

2014-12-27 23-20-58 Скриншот экрана

а вот наличия нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях оболочки такой расчет вообще не улавливает:

2014-12-27 23-21-59 Скриншот экрана

  1. Сравнение результатов пространственного расчета оболочки и расчета ее как плоской рамы

а) по перемещениям:

2014-12-27 23-23-11 Скриншот экрана

б) по усилиям:

2014-12-27 23-24-11 Скриншот экрана

а кроме того, «рамный» расчет не в состоянии правильно предсказать, какие слои растянуты, а какие сжаты (следует для сравнения посмотреть эпюры Моболочки  и Мрамы).

в) что касается напряжений в поперечных сечениях оболочки, то «рамный» расчет их просто не в состоянии «уловить».

Таким образом, результаты сравнения позволяют однозначно установить, что расчет призматических оболочек средней длины как плоских рам, то есть без учета пространственной работы, НЕДОПУСТИМ, поскольку он приводит к недостоверным результатам.