Энергетический метод определения критических нагрузок

При решении многих задач устойчивости, особенно сложных, весьма эффективными являются энергетические методы.    При достижении сжимающей силой критического значения стержень может немного изогнуться.    Примем для определенности, что Ix< Iy, тогда стержень изогнётся в плоскости чертежа.

2015-04-09 23-16-43 Скриншот экрана

При этом внешней силой Fкр будет совершена работа, которая перейдет в потенциальную энергию изгиба стержня. Энергия изгиба стержня определяется по формуле:

2015-04-09 23-14-28 Скриншот экрана или 2015-04-09 23-15-24 Скриншот экранатак как2015-04-09 23-16-06 Скриншот экрана

  Работа сжимающей силы равна:

2015-04-09 23-17-26 Скриншот экрана ,где λ- перемещение точки приложения силы Fкр.

При вычислении работы W множитель ½ отсутствует, поскольку потеря устойчивости характеризуется именно тем, что форма равновесия меняется при постоянной величине внешних сил.  Перемещение λ может быть определено как разность между длиной l и проекцией изогнутой оси стержня на прямую, соединяющую опоры.

Из рисунка видно, что 2015-04-09 23-19-29 Скриншот экрана

По малости деформаций принимается  2015-04-09 23-19-59 Скриншот экрана

Поэтому   2015-04-09 23-20-35 Скриншот экрана

Потенциальная энергия сжимающей силы равна:       2015-04-09 23-21-17 Скриншот экрана

Полная потенциальная энергия стержня:   2015-04-09 23-21-49 Скриншот экрана  или

2015-04-09 23-22-27 Скриншот экрана

Теперь приведём  одну из важнейших теорем механики деформируемого тела, на которой основан эффективнейший и весьма общий метод решения разнообразных технических задач, в частности задач об устойчивости упругих форм равновесия.

Это теорема Лагранжа-Дирихле. Из всех перемещений, удовлетворяющих заданным граничным условиям, те перемещения, которые удовлетворяют условиям устойчивого равновесия, придают полной потенциальной энергии системы минимальное значение.  Эта теорема предоставляет в наше распоряжение необходимое число уравнений вида 2015-04-09 23-23-09 Скриншот экрана,  что дает возможность решать задачи со многими неизвестными параметрами Хi.

Теорема справедлива как для линейно-деформируемых, так и для нелинейно-деформируемых систем.  Задаваясь той или иной подходящей функцией y, удовлетворяющей заданным граничным условиям, можно приближённо определить величину критической силы.

При выборе функции  y, кинематические граничные условия (прогибы, углы поворота сечений) должны быть удовлетворены обязательно. Статическим граничным условиям (изгибающим моментам, поперечным силам) удовлетворять необязательно, однако для получения более точных результатов – крайне желательно.