Правило Верещагина (способ перемножения эпюр)

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ«перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, но также можно определить перемещения по способу (правилу) Верещагина. Этот способ А.К. Верещагин предложил в 1924 году, будучи студентом.

Рассмотрим последовательность действий по правилу Верещагина. Начальный этап такой же, как по формуле Мора и способу Симпсона, т.е. вначале строится грузовая эпюра от действующих нагрузок (действительное состояние), затем рассматриваем балку во вспомогательном состоянии. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила, равная единице , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару сил, момент, равный единице. Строится эпюра единичных моментов или эпюра от единичной нагрузки. Далее перемещение вычисляется по формуле:

2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана, где в числителе - произведение площади грузовой эпюры на ординату  единичной (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры, а в знаменателе — жесткость сечения.

Этот способ становится понятным,если доказать, что результат перемножения двух эпюр ,одна и которых произвольна ,а другая линейна, равен произведению площади грузовой эпюры на ординату  единичной,  взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр  применимы только при наличии двух условий:

  1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной(EI=Const),
  2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке (грузовая или единичная)   должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома. 

Пусть грузовая эпюра произвольна, а единичная линейна (так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то единичная эпюра М0  оказывается ограниченной прямыми линиями). Пусть грузовая эпюра М(z) имеет криволинейное очертание, а эпюра М0 – прямолинейное (см. рисунок). Произведение  2014-12-07 20-12-18 Скриншот экрана 2014-12-07 20-13-16 Скриншот экранаможно рассматривать как элемент 2014-12-07 20-13-16 Скриншот экрана площади эпюры М, заштрихованной на рисунке.

2014-12-07 20-14-28 Скриншот экрана

Так как ордината М0 равна 2014-12-07 21-14-41 Скриншот экранато произведение 2014-12-07 20-16-21 Скриншот экрана , а весь интеграл 2014-12-07 20-17-02 Скриншот экрана, где

2014-12-07 20-17-45 Скриншот экрана - статический момент площади эпюры М(z) относительно оси ординат

Но! Статический момент площади ,как известно, это произведение самой площади на координату центра тяжести. Тогда

, 2014-12-11 22-26-16 Скриншот экранагде  2014-12-11 22-25-30 Скриншот экрана— это

ордината в единичной эпюре, расположенной под центром тяжести грузовой эпюры. Окончательно, перемещение равно:

2014-12-13 12-37-08 Скриншот экрана

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади грузовой эпюры на ординату другой (обязательно прямолинейной), взятой под центром тяжести грузовой эпюры.

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс», а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».