Определение перемещений

Виды перемещений. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

При плоском изгибе балки её упругая линия, лежащая в плоскости действия внешних сил, искривляется, точки этой линии получают некоторые перемещения.

2014-09-22 19-17-05 Скриншот экрана

Произвольно выбранная точка С перемещается как в направлении, перпендикулярном АВ, так и вдоль этой линии на величину 2014-09-22 19-19-02 Скриншот экрана. Наибольший практический интерес представляет перемещение 2014-09-22 19-19-50 Скриншот экрана, которое называется прогибом балки. Угол между направлениями 1-1 и 2-2 называется углом поворота сечения балки. Таким образом , перемещения бывают линейные и угловые.

Наряду с расчётом балки на прочность необходимо производить и расчёт на жёсткость, то есть определять прогибы и углы поворота балки. Существует несколько способов решения задачи о деформациях балок.  Рассмотрим аналитический способ. Установим зависимость координаты 2014-09-22 19-23-13 Скриншот экрана  – уравнение упругой линии.

Из рисунка видно ,что2014-09-22 19-25-04 Скриншот экрана Но! В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы ,что можно считать угол равным его тангенсу. Вспомнив геометрический смысл производной, можно принять угол поворота равным  первой производной прогиба по абсциссе сечения.

Правила знаков для перемещений, знаки перемещений

Угол считается положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки и наоборот. Прогиб считают положительным согласно принятому направлению осей координат. Если ось координат направлена вверх, то положительным будет прогиб вверх, а отрицательным —  вниз.

Для нахождения зависимости y=f(z) используем известное соотношение  между кривизной оси с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки          

2014-09-22 19-43-32 Скриншот экрана

При постоянных моменте, кривизне и жесткости  балка изгибается по окружности.

Из математики известно, что кривизна кривой может быть выражена так:

2014-09-22 19-48-31 Скриншот экрана

Пренебрегая 2014-09-22 19-49-38 Скриншот экрана  получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:                     

2014-09-22 19-50-55 Скриншот экрана

Или 2014-09-22 21-23-30 Скриншот экрана

При приближённом дифференциальном уравнении изогнутой оси балки пользуются принципом малости перемещений, а если перемещения очень большие, то используют точное дифференциальное уравнение. В технике допускаемая величина прогиба 2014-09-22 21-26-12 Скриншот экрана, где  2014-09-22 21-27-19 Скриншот экрана  длина пролёта балки. Уравнение  2014-09-22 21-23-30 Скриншот экрана  представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано в общем виде:

2014-09-22 21-31-08 Скриншот экрана

где v- линейное перемещение (прогиб), θ – угловое перемещение, С1 и С2 – постоянные интегрирования.

С1угол поворота в начале координат, умноженной на величину ЕI;

С2  – прогиб балки в начале координат, умноженный на EI.

Значения этих постоянных определяют из граничных условий ,т.е. условий опирания балки и условий на границах смежных участков.  Вот эти условия:

у свободно лежащей балки прогибы на обеих опорах равны нулю. При симметричном нагружении у такой балки угол поворота в середине пролета также равен нулю;

у консольной балки в заделке и прогиб и угол поворота равны нулю;

— на границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для левого, так и для правого участка.

Определение перемещений по методу начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

2014-09-21 19-11-34 Скриншот экрана

где у0 и φ0 – начальные параметрыто есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

2014-09-21 19-13-17 Скриншот экрана

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

  1. Определить все опорные реакции.
  2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
  3. Ось у направить вверх, ось z - вдоль балки.
  4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
  5. Зная начальные параметры у0 и φ0по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (МiFiqi) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.