Определение перемещений по формуле Симпсона

Задача. Для балки определить перемещения в т. А, В, С, D, подобрать сечение из двух швеллеров из условия прочности, проверить жесткость, показать изогнутую ось балки. Материал — сталь Ст3, допускаемое перемещение 2019-02-24_13-08-36 .

2019-02-24_13-11-12

  1. Определим опорные реакции.

2019-02-24_13-15-44

2019-02-24_13-12-08

Наносим значение опорных реакций на расчетную схему

2019-02-24_13-17-40

2. Строим эпюру моментов от заданной нагрузки – грузовую эпюру МF.

2019-02-24_13-18-28

Т.к. под равномерно распределенной нагрузкой линия параболическая кривая, то для её проведения потребуется дополнительная точка – поставим т.К в середине нагрузки.

2019-02-24_13-19-05

Строим эпюру МF  от заданной нагрузки.

2019-02-24_13-20-07

3. Подберем сечение из двух швеллеров:

2019-02-24_19-38-32

 

Подбираем 2 швеллера №33 см3.

2019-02-24_19-39-10

Проверим прочность подобранного сечения.

2019-02-24_19-39-41

Прочность обеспечена.

4. Определим перемещения в заданных точках. Снимаем с балки всю нагрузку. Для определения линейных перемещений (прогибов) прикладываем единичную силу (F=1), а для определения угловых перемещений — единичный момент 2019-02-24_11-51-40.

Точки А и В – это опоры, и по граничным условиям в шарнирных опорах прогиб невозможен, а угловое перемещение присутствует. В точках С и D будут и линейные (прогибы), и угловые (углы поворота) перемещения.

Определим угловое перемещение в т.А. Прикладываем в А единичный момент (рис. б). Строим эп 2019-02-24_11-50-49, определяем в ней необходимые ординаты. (рис. в).

Ординаты эп.МF – все положительные, эп.2019-02-24_11-50-49 – тоже.

2019-02-24_19-44-38

Перемещения будем определять методом Мора по формуле Симпсона.

2019-02-24_19-42-42

Определим момент инерции Iх для сечения.

2019-02-24_19-43-24

Модуль продольной упругости Е для Ст3 Е = 2·105 МПа = 2·108 кПа. Тогда:

2019-02-24_19-45-28

Угол поворота φА получился положительным, это значит, что угол поворота сечения совпадает с направлением единичного момента.

Определим угол поворота φВ. (рис.г,д )

2019-02-24_19-46-54

2019-02-24_19-48-00

Теперь определим перемещения в т. С (линейное и угловое). Прикладываем единичную силу (рис. е), определяем опорные реакции и строим эп. 2019-02-24_11-50-49 от единичной силы (рис.ж).

2019-02-24_19-49-42

Рассмотрим рис. е.

2019-02-24_19-52-22

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49:

2019-02-24_19-53-26

Определим прогиб в т. С.

2019-02-24_19-54-10

Для определения угла поворота в т. С приложим единичный момент (рис. з), определим опорные реакции и построим эпюру единичных моментов  (рис. и).

2019-02-24_19-55-21

(знак "— " говорит о том, что реакция RА направлена в обратную сторону. Показываем это на расчетной схеме – рис.з).

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  , 2019-02-24_19-57-35

Поскольку m=1 приложен в т. С   пролета балки, то момент в т. С определим как от левых, так и от правых сил. 

2019-02-24_19-58-03

Определим прогиб в точке С.

2019-02-24_19-59-09

(знак «-» говорит о том, что угол поворота направлен противоположно направлению единичного момента)

Аналогично определим линейное и угловое перемещения в т. D.

Определим уD .  (рис. к).

2019-02-24_20-01-03

2019-02-24_20-02-43

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49 (рис.л) :

2019-02-24_20-03-58

Определим φD  (рис. м):

2019-02-24_20-05-08

Строим эп. 2019-02-24_11-50-49  — (рис.н).

Определим угол поворота:

2019-02-24_20-06-54

(угол поворота направлен в сторону, противоположную единичному моменту).

Теперь покажем изогнутую ось балки (упругую линию), которой стала прямолинейная ось под действием нагрузки. Для этого зарисуем первоначальное положение оси и в масштабе отложим вычисленные перемещения (рис.о).

2019-02-24_20-09-05

Проверим жесткость балки  2019-02-24_20-09-42, где f – максимальный прогиб.

2019-02-24_20-10-50

Максимальный прогиб 2019-02-24_20-11-50  — жесткость не обеспечена.

Т.о. в данной задаче мы убедились в том, что не всегда сечения, подобранные из условия прочности (в данном случае – сечение из двух швеллеров) удовлетворяют условиям жесткости.