Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила 2014-09-21 21-00-01 Скриншот экрана , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару 2014-09-21 21-00-56 Скриншот экрана .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

2014-09-21 21-03-01 Скриншот экрана

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной вычисляется по следующей формуле:

2014-09-21 21-05-23 Скриншот экрана

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

2014-09-21 21-07-38 Скриншот экрана - крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

2014-09-21 21-09-28 Скриншот экрана

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

  1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
  2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке   2014-09-21 21-11-55 Скриншот экрана должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

2014-09-21 21-13-19 Скриншот экрана

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (  2014-09-21 21-14-36 Скриншот экрана), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

2014-12-13 16-25-22 Скриншот экрана

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

2014-09-21 23-23-56 Скриншот экрана –  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

2014-12-27 17-31-38 Скриншот экрана, где2014-12-27 17-34-55 Скриншот экрана

Задача 

Определить угол поворота сечения на левой опоре φА 

2014-09-21 21-22-50 Скриншот экрана

1)                 Находим опорные реакции действительного состояния 2014-09-21 21-24-01 Скриншот экрана .

2)                 Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3)                 Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φА.

4)                 Находим опорные реакции вспомогательного состояния

2014-09-21 21-24-59 Скриншот экрана

«Реагируем» на знак «минус».

5)            Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

2014-09-21 21-27-15 Скриншот экрана

6)                «Перемножаем» эпюры 2014-09-21 21-28-26 Скриншот экрана

Поскольку одна из них (а именно  2014-09-21 21-29-28 Скриншот экрана ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

2014-09-21 21-30-29 Скриншот экрана

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 2014-09-21 21-31-25 Скриншот экрана