Расчет статически неопределимой рамы по методу сил

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М, Q, N методом сил и выполнить проверки.Задано соотношение  I2=2I1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I1 =I, тогда I2=2I.

2019-05-10_19-29-19

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по формуле:

nR-Ш-3=5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима, и для её решения потребуется  два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2019-05-10_19-36-41

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему. За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С.

2019-05-10_19-38-21

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой, действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х1 и Х2  и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной.

2019-05-10_19-40-33

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х1=1 и Х2=1 и строим эпюры 2019-05-10_19-41-28.

2019-05-10_19-42-40

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру МF.

2019-05-10_19-43-52

М1=0

М2= -q·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М3= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М4= -q·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М5= -q·8·4-F·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

2019-05-10_19-51-29

Подставляем в каноническое уравнение, сокращаем на ЕI.

2019-05-10_19-51-58

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х1, а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х2=7,12кН, тогда Х1=-1,14 кН.

  1. Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

2019-05-10_19-54-03

Сначала строим эпюры  2019-05-10_19-54-39:

2019-05-10_19-55-43

Тогда эпюра Мок

2019-05-10_19-56-54

Проверки окончательной эпюры моментов (Мок).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии.

2019-05-10_19-58-01

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

2019-05-10_19-59-21

где МS – суммарная эпюра единичных моментов, для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х1=1 и Х2=1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру МS .

2019-05-10_20-00-53

Выполняем деформационную проверку по ступеням:

2019-05-10_20-01-47

  1. Построение Эп Q по Эп Мок.

Эп Q строим по формуле:

2019-05-10_20-02-44

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу:

2019-05-10_20-02-07,

где Мпр – момент правый,

Млев – момент левый,

— длина участка.

Разобьем Эп Мок на участки:

2019-05-10_20-03-03

2019-05-10_20-03-41

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

2019-05-10_20-04-29

z меняется от 0 до

2019-05-10_20-05-09Строим ЭпQ:

2019-05-10_20-06-03

  1. Построение Эп N по Эп Q.

Вырезаем узлы рамы, показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами.

2019-05-10_20-16-06

Строим Эп N.

2019-05-10_20-16-36

  1. Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр  и проверяем по уравнениям статики.

2019-05-10_20-17-57

Все проверки сошлись. Задача решена.