Кручение

Внутренний крутящий момент в сечении вала Мк   (может быть обозначен буквой Т, Мz  вычисляется с помощью метода сечений, при этом моменты учитываются по одну сторону от сечения.

2014-09-04 18-44-48 Скриншот экрана

где Мi – внешний активный или реактивный крутящий момент; правило знаков для внутренних крутящих моментов устанавливается произвольно.

2014-09-04 19-36-59 Скриншот экрана

Для вала с круглым (в т.ч. в виде кольца) поперечным сечением касательные напряжения определяются по формуле:

2014-09-04 19-02-22 Скриншот экрана

где  2014-09-04 19-03-54 Скриншот экрана - это полярные моменты инерции для сплошного и кольцевого сечений соответственно, ρкоордината произвольной точки сечения, D, d – наружний и внутренний диаметры сечения.

2014-09-04 19-05-50 Скриншот экрана

Максимальные касательные напряжения действуют в точках поверхностного слоя при ρ=ρmax

2014-09-04 19-07-08 Скриншот экрана

Условие прочности по допускаемым напряжениям

2014-09-04 19-09-35 Скриншот экрана

где — 2014-09-04 19-10-35 Скриншот экрана это допускаемое касательное напряжение.

Угол закручивания (рад) на силовом участке вала при постоянных значениях крутящего момента и поперечного момента инерции для данного участка вычисляется следующим образом

2014-09-04 19-11-48 Скриншот экрана

где G – модуль сдвига

Относительный угол закручивания (рад/м) для силового участка

2014-09-04 19-12-48 Скриншот экрана

Условие жесткости при кручении вала с круглым поперечным сечением записывается в виде

2014-09-04 19-13-41 Скриншот экрана

где 2014-09-04 19-15-25 Скриншот экрана  допускаемый относительный угол закручивания.

Для вала с прямоугольным поперечным сечением эпюры касательных напряжений имеют вид.

2014-09-04 19-17-57 Скриншот экрана

В характерных точках сечения

2014-09-04 19-19-25 Скриншот экрана

угол закручивания на силовом  участке вала

2014-09-04 19-20-23 Скриншот экрана

где α, η, βкоэффициенты, зависящие от отношения a/b (или h/b  - отношение большей стороны прямоугольника к меньшей)

2014-09-04 19-22-04 Скриншот экрана

Если вал с эллиптической формой поперечного сечения и полуосями a и b, то его характерные эпюры касательных напряжений будут выглядеть следующим образом.

2014-09-04 19-24-39 Скриншот экрана

Касательные напряжения в характерных точках сечения

2014-09-04 19-25-38 Скриншот экрана

Угол закручивания на силовом участке вала

2014-09-04 19-26-23 Скриншот экрана

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ:2014-09-05 21-31-38 Скриншот экрана

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

2014-09-05 21-32-36 Скриншот экрана

Угол закручивания

2014-09-05 21-33-49 Скриншот экрана

Кручение пустотелых валов круглого сечения

Трубчатое сечение бруса в условиях кручения оказывается наиболее рациональным, так как материал из центральной зоны сечения, слабо напряженной, удален в область наибольших касательных напряжений. Вследствие этого прочностные свойства материала используются значительно полнее, чем в брусьях сплошного круглого сечения, и при всех прочих равных условиях применение трубчатого сечения вместо сплошного позволяет экономить материал.

2014-09-05 21-14-48 Скриншот экрана

Теория расчета бруса сплошного круглого сечения полностью применима и к пустотелым валам. Изменяются лишь геометрические характеристики сечения:

2014-09-05 21-15-38 Скриншот экрана

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

2014-09-05 21-25-28 Скриншот экрана

Здесь: Wк=α∙hb2момент сопротивления при кручении,

            Iк=β∙hb3 – момент инерции при кручении.

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

2014-09-05 21-29-03 Скриншот экрана

Значения коэффициента γ<1 берутся из той же таблицы, что и значения α и β.