Касательные напряжения при изгибе.Формула Д.И. Журавского

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку, нагруженную силами.

Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

Задача по определению напряжений всегда статически неопределима и требует привлечения геометрических и физических уравнений. Однако можно принять такие гипотезы о характере распределения напряжений, что задача станет статически определимой.

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями 1-1 и 2-2 выделим элемент dz, изобразим его в крупном масштабе, затем проведем продольное сечение 3-3.

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные σ1, σ2 напряжения, которые определяются по известным формулам:2015-04-26 13-14-24 Скриншот экрана

 

где М — изгибающий момент в поперечном сечении , dМ — приращение изгибающего момента на длине dz

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена  вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению. В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.   

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке  поперечного сечения, расположенного на расстоянии у0 от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (3-3), и вынесем отсеченный элемент. Будем определять напряжение, действующее по площадке АВСД. 2015-04-26 13-20-13 Скриншот экрана

     

 

 

 

Спроецируем все силы на ось Z

2015-04-26 13-24-06 Скриншот экрана

 

 

 

 

Равнодействующая внутренних продольных сил по правой грани будет равна:

2015-04-26 13-28-06 Скриншот экрана

где А0 – площадь фасадной грани, Sx0 – статический момент отсеченной части относительно оси Х. Аналогично на левой грани:

2015-04-26 13-29-34 Скриншот экрана Обе равнодействующие направлены навстречу друг другу, поскольку элемент находится в сжатой зоне балки. Их разность уравновешивается касательными силами на нижней грани 3-3.

Предположим, что касательные напряжения τ распределены по ширине поперечного сечения балки b равномерно. Такое допущение тем вероятнее, чем меньше ширина по сравнению с высотой сечения. Тогда равнодействующая касательных сил dT равна значению напряжений, умноженному на площадь грани:2015-04-26 13-37-51 Скриншот экрана

Составим теперь уравнение равновесия Σz=0:2015-04-26 13-41-59 Скриншот экрана 

 

или2015-04-26 13-43-02 Скриншот экрана, откуда

2015-04-26 13-44-41 Скриншот экрана

 

 

Вспомним дифференциальные зависимости, согласно которым 2015-04-26 13-46-07 Скриншот экрана Тогда получаем формулу:

2015-04-26 13-47-41 Скриншот экрана

Эта формула  получила название формулы Д. И. Журавского. Эта формула получена в 1855 г. Здесь Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение, Q -поперечная сила в сечении.