Теорема Д.И. Журавского. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью равномерно распределенной нагрузки q

Рассмотрим схему балки, нагруженную произвольными силами. Двумя бесконечно близкими сечениями 1-1 и 2-2  выделим на участке с равномерно распределенной нагрузкой элемент длиной dz. Действие левой отброшенной части заменим поперечной силой Q  и изгибающим моментом М, которые будем считать положительными. Поскольку выделенный элемент dz бесконечно мал, и нагрузку, распределенную по его длине можно считать равномерной,и в пределах этого элемента не приложены внешние силы и моменты, то в правой части значения поперечных сил и изгибающих моментов будут отличаться на бесконечно малые величины dQ и dM и будут равны соответственно Q+dQ  и M+dM.

К определению дифференциальных зависимостей: а) схема нагружения; б) внутренние силовые факторы

К определению дифференциальных зависимостей: а) схема нагружения;
б) внутренние силовые факторы

Составим два уравнения равновесия. Сумма проекций на ось y:2015-04-16 19-18-20 Скриншот экрана, откуда2015-04-16 19-19-07 Скриншот экрана

Т.е. первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки (1).

Второе уравнение равновесия. Сумма моментов всех сил относительно точки С равна нулю.2015-04-16 19-28-55 Скриншот экрана

Раскроем скобки 2015-04-16 19-29-53 Скриншот экранаПренебрегая бесконечно малыми величинами qdz2/2 и dQdz, получим:  2015-04-16 19-31-04 Скриншот экрана -первая производная от изгибающего момента равна поперечной силе (2).          

Из (1) и (2) дифференциальных зависимостей выводим третью:2015-04-16 19-33-46 Скриншот экрана Вторая производная от  изгибающего момента равна интенсивности распределенной нагрузки.

Данные дифференциальные зависимости значительно упрощают процесс построения эпюр.