Расчет пластинок переменной толщины

Для численного расчёта представим круглую пластинку переменной толщины, состоящей из набора колец различной толщины, и рассмотрим два смежных кольца:2015-03-31 22-52-39 Скриншот экрана

В качестве параметров (искомых величин) при переходе от кольца к кольцу выбираем:

  прогиб w,

—   угол поворота θ,

—  поперечную силу Q,

—  радиальный изгибающий момент М1.

Таким образом, в этом случае введем в рассмотрение четырехмерный вектор состояния, тогда как известно решение с  двухмерным вектором, который включал в себя две неизвестные величины: угол поворота θ и изгибающий момент М1. Чем это вызвано? Включение в состав вектора состояния поперечной силы (Q) преследует цель обобщить решение на пластинки,  имеющие не один, а два опорных контура, когда поперечную силу оказывается невозможным определить из уравнения равновесия центральной части пластинки, как это делалось в статически определимых задачах с одним опорным контуром. Что же касается прогиба (w), то он вводится с целью построения универсального однообразного алгоритма решения.

Ради удобства целесообразно в вектор состояния вводить не непосредственно угол поворота θ, а его отношение к радиус-вектору  θ/r , не саму поперечную силу (Q), а ее произведение на радиус-вектор (Q·r).

И еще большие удобства представляет переход от абсолютных величин к безразмерным параметрам. Предположим: пусть радиус-вектор r=t·a, где а – внешний радиус пластинки. Тогда t будет представлять собой безразмерную величину в интервале [t0,1], где 2015-03-31 23-13-42 Скриншот экрана

Окончательно для компонентов  вектора состояния примем следующие выражения:2015-03-31 23-14-42 Скриншот экрана(1)

Для численного решения задачи необходимы дифференциальные уравнения, разрешенные относительно первых производных искомых функций. Получим их, основываясь на материале раздела «Расчет круглых пластинок (пластин) постоянной толщины на действие осесимметричной нагрузки».

2015-03-31 23-30-24 Скриншот экрана

Из выражения радиального изгибающего момента:2015-03-31 23-31-58 Скриншот экрана

выразим 2015-03-31 23-32-54 Скриншот экрана : 2015-03-31 23-33-31 Скриншот экранаВычислим:2015-03-31 23-35-32 Скриншот экрана ,откуда:2015-03-31 23-36-21 Скриншот экрана

Из уравнения равновесия следует:2015-03-31 23-46-45 Скриншот экрана

И из второй формулы для выражения  изгибающего момента2015-03-31 23-48-13 Скриншот экрана

С учётом только что полученного выражения 2015-03-31 23-49-27 Скриншот экрана найдём:2015-03-31 23-52-23 Скриншот экранаоткуда2015-03-31 23-53-20 Скриншот экрана

Из уравнения равновесия имеем:2015-04-01 00-02-58 Скриншот экрана

После подстановки получим:2015-04-01 00-03-43 Скриншот экрана

Полученные здесь дифференциальные уравнения первого порядка в безразмерных параметрах примут вид:2015-04-01 00-06-29 Скриншот экрана

Составим  формулы для окружного изгибающего момента М2 и эквивалентного напряжения энергетической теории прочности, выраженные через искомые параметры х1, х2, х3 и х4.

Обозначим 2015-04-01 00-08-41 Скриншот экрана ,тогда2015-04-01 00-09-39 Скриншот экрана(6)

Обозначим2015-04-01 00-10-51 Скриншот экрана, тогда2015-04-01 00-11-28 Скриншот экрана (7)

Запишем систему уравнений (2) – (5) в матричной форме:2015-04-01 00-12-57 Скриншот экрана(8)

Здесь:

2015-04-01 00-13-44 Скриншот экрана -вектор состояния,    2015-04-01 00-14-44 Скриншот экрана

вектор первых производных искомых параметров,

2015-04-01 00-16-06 Скриншот экрана-матрица перехода от кольца к кольцу,

2015-04-01 00-16-59 Скриншот экрана -вектор правых частей уравнений (грузовой вектор).

Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка легко решается на компьютере с помощью известных вычислительных методов Рунге-Кутта, Адамса и др. Для «ручного» счёта можно воспользоваться и более простым методом Эйлера.

Суть метода Эйлера поясним на примере решения одного дифференциального уравнения первого порядка 2015-04-01 00-31-10 Скриншот экрана2015-04-01 00-32-03 Скриншот экрана

Пусть кривая на рисунке является решением уравнения, то есть искомой функцией.

Предположим, что значение функции при аргументе tk известно, а требуется определить значение той же функции в точке tk+1.

По своему геометрическому смыслу первая производная есть тангенс угла наклона касательной, то есть 2015-04-01 00-33-56 Скриншот экранаи если мы к значению функции в точке tk прибавим произведение интервала аk на tgα, то найдём приближенное значение искомой функции в точке tk+1:2015-04-01 00-35-08 Скриншот экрана

Очевидно, что чем меньше величина интервала аk, тем меньше погрешность и точнее решение.

В других методах аппроксимация ведется не по прямой (как в методе Эйлера), а по некоторой кривой линии, что повышает точность, хотя и усложняет расчетные соотношения. В случае  счета по  программе  это обстоятельство не имеет принципиального значения, тогда как для ручного счета простота важна, чем и объясняется выбор метода Эйлера.

Обобщая сказанное на рассматриваемый четырехмерный вектор, будем иметь:2015-04-01 00-38-55 Скриншот экрана(9)

Практическая реализация алгоритма расчета пластинок переменной толщины численным методом

Прежде всего выбирается размер шага ак. Он может быть одним для всего интервала изменения радиус-вектора, либо разным на различных участках пластинки. Назначается характерная толщина h0.

Дальнейший расчет ведется в табличной форме.

Таблица 1 включает в себя геометрические параметры:

Таблица 1

Таблица 1

В таблице 2 производятся вычисления для определения компонентов общего решения в сечениях пластинки в соответствии с формулой:

2015-04-04 15-51-06 Скриншот экрана

Таблица 2

Таблица 2

Частное решение получается в процессе заполнения таблицы 3 в соответствии с формулой: 2015-04-04 15-53-22 Скриншот экрана

Таблица 3

Таблица 3

Затем определяется значение постоянной «С» из условия закрепления внешнего контура пластинки (при t=1). Наконец, в соответствии с соотношением 2015-04-04 15-55-30 Скриншот экрана в таблице 4 определяются окончательные значения компонентов вектора состояния:

Таблица 4

Таблица 4

Вычисление окружного изгибающего момента производится в таблице 5 в соответствии с формулой : Таблица 5

Таблица 5

Таблица 5

И, наконец, эквивалентное напряжение по энергетической теории прочности в каждом сечении пластинки по формуле 2015-04-01 00-11-28 Скриншот экрана можно вычислить, заполнив таблицу 6:

Таблица 6

Таблица 6

Данный алгоритм расчета относится к задачам статически определимым, которые возникают в пластинках с одним опорным контуром независимо от его расположения. Это означает, что один из четырех компонентов вектора состояния, а именно: х3,  в который входит поперечная сила Q, может быть найден независимо, непосредственно из условия равновесия выделенной части пластинки, и тогда количество искомых факторов снижается до трех. Если при этом компоненты начального вектора состояния (при r=r0 или t=t0) задавать не произвольно, а так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям на внутреннем контуре кольцевой пластинки или в центре пластинки сплошной, то в решении можно ограничиться всего одной постоянной «С», для определения которой достаточно только одного граничного условия на внешнем контуре.