Расчет круглых пластинок ступенчатого сечения с кольцевыми ребрами методом начальных параметров в форме матриц перехода

Выделим из пластинки ступенчатого сечения один произвольный участок в виде кольца постоянной толщины:2015-03-22 13-52-11 Скриншот экрана

Пусть нам известны при r=r1:

—   угол поворота θ(r1),

—   радиальный изгибающий момент М1(r1).

Найдём момент и угол поворота в сечении  r = r2, то есть М1(r2) и θ(r2).

Общие выражения изгибающего момента М1 и угла поворота θ произвольного сечения нам уже известны:

2015-03-22 13-54-16 Скриншот экрана

Введем в рассмотрение новые обозначения неизвестных и новые постоянные величины:2015-03-22 13-55-11 Скриншот экрана

где: D0 назовем характерной жесткостью,

а h0 – характерной толщиной.

Тогда:

2015-03-22 13-56-17 Скриншот экрана

Параметры х1 и х2 будем рассматривать в качестве компонентов вектора2015-03-22 13-57-27 Скриншот экранаВ новых обозначениях задача ставится следующим образом: пусть нам известен вектор Х(r1), требуется найти вектор Х(r2).

Выразим компоненты общего решения, входящие в вектор состояния Х(r2), через компоненты общего решения, входящие в вектор Х(r1).

Для этого, полагая пока частное решение нулевым, запишем при r =r1:2015-03-22 13-59-11 Скриншот экрана

откуда найдем:2015-03-22 13-59-52 Скриншот экрана

Тогда для произвольного «r»2015-03-22 14-00-49 Скриншот экрана

Вводя обозначение  2015-03-22 14-01-25 Скриншот экрана , запишем для r=r2:2015-03-22 14-02-08 Скриншот экрана

Полученный результат представим в компактной матричной форме:2015-03-22 14-03-03 Скриншот экранагде:2015-03-22 14-03-43 Скриншот экранаматрица перехода,

2015-03-22 14-04-32 Скриншот экранавектор (или матрица – столбец) частного решения.

Компонентами матриц L и N являются:2015-03-22 14-16-42 Скриншот экрана

Для осесимметричной задачи изгиба круглой пластинки постоянной толщины разрешающим дифференциальным уравнением является уравнение второго порядка 2015-03-22 14-20-52 Скриншот экрана относительно функции угла поворота θ®. Это позволяет  рассматриваемое здесь решение представить также в матричном виде:2015-03-22 14-22-43 Скриншот экранагде: Х°°- общее решение однородной системы, Хчастн.— решение частное,      С- постоянная, определяемая из условия закрепления внешнего контура пластинки (при r=а).

Что касается начальных значений для общего и частного решения, то они определяются граничными условиями на внутреннем контуре пластинки, при r=r0.

При этом возможны следующие частные случаи:

а) пластинка жёстко защемлена на внутреннем контуре 

пластинка жёстко защемлена на внутреннем контуре

пластинка жёстко защемлена на внутреннем контуре

2015-03-22 14-30-00 Скриншот экрана

б) пластинка шарнирно опёрта на внутреннем контуре или внутренний контур свободен (не имеет никаких закреплений)

пластинка шарнирно опёрта на внутреннем контуре

пластинка шарнирно опёрта на внутреннем контуре


пластинка, где внутренний контур свободен (не имеет никаких закреплений)

пластинка, где внутренний контур свободен (не имеет никаких закреплений)

В обоих этих случаях:2015-03-22 14-33-51 Скриншот экрана

в) пластинка загружена на внутреннем контуре равномерно распределёнными радиальными моментами

пластинка загружена на внутреннем контуре равномерно распределёнными радиальными моментами

пластинка загружена на внутреннем контуре равномерно распределёнными радиальными моментами

2015-03-22 14-35-55 Скриншот экрана

г) пластинка не имеет центрального отверстия (не кольцевая, сплошная) 

пластинка,  не имеющая центрального отверстия (не кольцевая, сплошная)

пластинка, не имеющая центрального отверстия (не кольцевая, сплошная)

В самом центре пластинки и в малой его окрестности Δr радиальный и окружной изгибающие моменты одинаковы:    М12то есть

2015-03-22 14-39-15 Скриншот экранаоткуда2015-03-22 14-40-15 Скриншот экрана

и, следовательно,2015-03-22 14-41-03 Скриншот экрана В самом центре это равенство выполняется точно, а на малом расстоянии Δr от центра – приближённо. Для выяснения геометрического смысла этого выражения рассмотрим малую окрестность Δr 2015-03-22 14-42-12 Скриншот экранаВ точке Δr: 2015-03-22 14-42-50 Скриншот экрана

Тогда:   2015-03-22 14-43-39 Скриншот экрана

Разделив на D0, получим:2015-03-22 14-44-28 Скриншот экрана

И тогда начальные значения векторов общего и частного решений (при r0=Δr) следует принять в виде:2015-03-22 14-46-12 Скриншот экрана

Значение постоянной «С» определяется из условия закрепления внешнего контура пластинки при r=а.

Рассмотрим возможные варианты.

1.Внешний контур закреплён шарнирно 2015-03-22 14-47-43 Скриншот экрана

Здесь в точках внешнего контура радиальный изгибающий момент равен нулю (если, конечно, отсутствует нагрузка в виде распределённого по краю момента m), то есть: при r=а:  х2(а)=0.

Для реализации этого условия рассмотрим вектор состояния в точках внешнего контура:2015-03-22 14-49-12 Скриншот экранаоткуда2015-03-22 14-49-57 Скриншот экрана

Удовлетворяя условию закрепления х2(а)=0, находим:2015-03-22 14-50-51 Скриншот экрана

2. Внешний контур жестко защемлен 2015-03-22 14-51-44 Скриншот экрана  Здесь в точках внешнего контура не может быть поворотов, то есть при r=a: , и, следовательно, х1(а)=0.

Тогда из вектора состояния:2015-03-22 14-52-49 Скриншот экрана

находим:2015-03-22 14-53-34 Скриншот экрана

3. Внешний контур свободен от закреплений.

Здесь, как и в рассмотренном случае 1, при r=a: х2(а)=0, и, следовательно,2015-03-22 14-54-36 Скриншот экрана

Рассмотрим структуру вектора частных решений в зависимости от вида и характера нагружения пластинки.

Случай 1.  Пусть по оси симметрии (то есть в центре пластинки) действует сосредоточенная сила F (либо она является равнодействующей всей той нагрузки, что действует до начального радиус-вектора (r1) рассматриваемого кольца, выделяемого из пластинки

2015-03-22 15-03-13 Скриншот экрана

Сделаем произвольный круговой разрез I-I в пределах выделенного кольца пластинки и рассмотрим его равновесие:

2015-03-22 15-25-02 Скриншот экрана2015-03-22 15-16-06 Скриншот экранаОткуда2015-03-22 15-16-48 Скриншот экранаТогда по формуле2015-03-22 15-18-31 Скриншот экрана получим:2015-03-22 15-19-34 Скриншот экрана

Сформулируем отношение:2015-03-22 15-20-26 Скриншот экрана

Это и есть параметр, обозначенный выше «n1».

Итак,2015-03-22 15-21-54 Скриншот экрана

Вычислим2015-03-22 15-22-40 Скриншот экрана

что  в точке r=r2 даст выражение:2015-03-22 15-23-24 Скриншот экрана

 

Случай 2. Действие равномерно распределенной нагрузки интенсивности «q» в пределах рассматриваемого кольца пластинки       2015-03-22 15-26-51 Скриншот экрана

Из уравнения равновесия отсеченной части пластинки:2015-03-22 15-27-38 Скриншот экрананайдем:2015-03-22 15-28-19 Скриншот экрана

Тогда n0 по формуле 2015-03-22 15-18-31 Скриншот экрана частное решение будет:

2015-03-22 15-31-34 Скриншот экранаили:2015-03-22 15-32-43 Скриншот экрана

И тогда:2015-03-22 15-33-44 Скриншот экрана

В то же время производная угла поворота будет:2015-03-22 15-34-33 Скриншот экранаТеперь получаем  матрицу перехода через кольцевое ребро подкрепленной круглой пластинки2015-03-22 15-35-57 Скриншот экрана

Обозначим вектор состояния «до ребра» Хˉ , а «после ребра – Х+:

2015-03-22 15-37-02 Скриншот экрана

Будем считать, что Хˉ нам известен. Найдем Х+. С этой целью отделим ребро от пластинки, как это показано на рис.б и составим уравнение равновесия моментов:2015-03-22 15-38-23 Скриншот экрана

и очевидное геометрическое соотношение:2015-03-22 15-39-19 Скриншот экрана

Для кольцевого ребра имеет место зависимость (см."Расчет круглых пластинок постоянной толщины на действие осесимметричной нагрузки")

2015-03-22 15-40-31 Скриншот экрана

Отсюда следует:2015-03-22 15-46-38 Скриншот экрана

Подстановка в уравнение равновесия моментов дает:2015-03-22 15-47-18 Скриншот экрана

Таким образом, находим:

2015-03-22 15-48-00 Скриншот экранаи в матричной форме:

 

2015-03-22 15-48-56 Скриншот экранагде матрица перехода через ребро получает вид:

2015-03-22 15-49-44 Скриншот экрана

Замечание: рассмотренное здесь ребро является симметричным. При его повороте никаких дополнительных усилий в срединной поверхности пластинки не возникает. Если реальное ребро будет несимметричным, но при этом не слишком жёстким, то при расчёте вполне можно пользоваться результатами, полученными для симметричного ребра.

Подводя итоги вышеизложенного, кратко отметим основное:

  1. Переход от сечения к сечению осуществляется с помощью матричного уравнения:2015-03-22 16-49-17 Скриншот экранаДля частных случаев нагружения:

а) любая нагрузка «до» рассматриваемого участка2015-03-22 16-51-07 Скриншот экрана

б) распределенная нагрузка на рассматриваемом участке2015-03-22 16-52-28 Скриншот экрана

2. Переход через ребро:

2015-03-22 16-53-42 Скриншот экрана