Расчет круглых перфорированных пластин-фильтров

Приведение перфорированных круглых пластинок к расчетной схеме пластинки ступенчатого сечения или пластинки с кольцевыми ребрами

Рассмотрим перфорированную круглую пластинку

Перфорированная круглая пластинка

Перфорированная круглая пластинка

Пусть: R – радиус самой пластинки постоянной толщины «Н»,

            Ri – радиус i-го круга отверстий,

            di – диаметр отверстий i-го круга

Очевидно, что наличие отверстий ослабляет «кольцо» радиуса Ri и шириной, равной диаметру отверстий di . Выполним операцию «приведения» оставшегося между отверстиями материала к кольцу того же радиуса Ri, но имеющему среднюю «приведенную» толщину hi:2015-05-08 17-00-47 Скриншот экранаоткуда:2015-05-08 17-01-29 Скриншот экрана(1), где ni – количество отверстий диаметром di, расположенных по кольцу радиуса Ri :2015-05-08 17-03-20 Скриншот экрана(2), где: t – расстояние между центрами отверстий в ряду.

По формуле (1) определяется «приведенная» толщина каждого кольца пластинки, ослабленного отверстиями, и тогда расчетная схема пластинки приобретает ступенчатый характер:2015-05-08 17-05-03 Скриншот экрана

Таким образом, расчетная схема включает в себя кольца «толстые» (толщиной исходной пластинки «H») и «тонкие» (толщиной «hi»).

Ширина «тонких» колец совпадает с диаметром отверстий «di», а ширина «толстых» колец определяется формулой:2015-05-08 17-06-30 Скриншот экрана

где: Ri – радиус круга, по которому расположены отверстия диаметром di,

Ri+1 – радиус следующего круга, по которому располагаются отверстия диаметром di+1.

Если, например, принять расстояние между центрами отверстий равным 5d, то ширина «тонких» участков составит:2015-05-08 17-07-48 Скриншот экрана

Если в этом случае принять 2015-05-08 17-09-52 Скриншот экрана

Что же касается толщины «тонких» участков расчетной схемы, то она зависит от количества отверстий на окружности, и чем больше отверстий, тем меньше hi.

Рассмотрим случай равномерного распределения одинаковых отверстий по площади пластинки. Пусть расстояния между центрами отверстий как по кругу, так и по радиусу, одинаковы и равны 5d. Положим d=Н, а Ri=40Н. Тогда:2015-05-08 17-11-39 Скриншот экранаВ следующем кольце 2015-05-08 17-12-35 Скриншот экрана

Значит, при равномерном распределении отверстий толщина всех «тонких» колец будет одинаковой. Она не будет зависеть и от диаметра отверстий.

Если, например, принять вдвое большие отверстия, то есть положить d=2Н, то соответственно:2015-05-08 17-13-48 Скриншот экрана

Но ширина «тонких» колец изменится: если при d=Н:   bi=4Н, то в случае, когда d=2Н: bi=8Н.

А в том случае, если расстояния между центрами отверстий составляют величину 3d, то при d=Н и Ri=40Н:

2015-05-08 17-15-32 Скриншот экрана

и ширина «тонких» колец 2015-05-08 17-16-58 Скриншот экрана

Следовательно, при более близком расположении отверстий становятся меньше и толщина и ширина «тонких» колец расчетной схемы.

Возможен и иной вариант расположения отверстий. Пусть, например, отверстия располагаются концентрическими кругами, прилегающими вплотную один к другому, а в каждом таком ряду расстояние между центрами отверстий равно 3d, и сверлятся они в шахматном порядке. Через определенное количество перфорированных таким образом кругов оставляется один круг сплошной, тоже шириной d, затем блок перфорированных кругов, снова просвет, и т.д., как это показано на рисунке:2015-05-08 17-19-32 Скриншот экрана

В таком случае расчетная схема будет представлять собою пластинку с кольцевыми ребрами:

2015-05-08 17-20-33 Скриншот экрана

Для такого варианта формулы (1) и (2) сохраняют свою силу при замене Rна Ri ср  .

Для расчета пластинок ступенчатого сечения и пластинок с кольцевыми ребрами жесткости наиболее целесообразен численный метод начальных параметров в форме матриц перехода (см.рубрику «Пример расчета круглой пластинки ступенчатого сечения с кольцевыми ребрами методом начальных параметров в форме матриц перехода» ).

Вектор состояния  2015-05-08 17-24-54 Скриншот экрана содержит две неизвестных величины, входящих в состав его компонентов:

— компонента х1 включает в себя угол поворота 2015-05-08 17-25-34 Скриншот экрана,

— компонента х2 включает в себя радиальный изгибающий момент 2015-05-08 17-26-35 Скриншот экрана

«Переход» от начала участка (радиус-вектор r1) к концу участка (радиус-вектор r2) производится в соответствии с матричным уравнением:2015-05-08 17-28-08 Скриншот экранагде:

2015-05-08 17-29-11 Скриншот экрана

Компонентами этих матриц являются выражения:2015-05-08 17-29-58 Скриншот экрана

Здесь обозначено: 2015-05-08 17-30-55 Скриншот экрана

Матрица перехода через кольцевое ребро имеет вид:2015-05-08 17-32-01 Скриншот экрана

Начальными значениями векторов общего и частного решений необходимо задаваться. Для случая, когда пластинка имеет центральное отверстие:2015-05-08 17-33-09 Скриншот экрана

Полное решение складывается из общего и частного и в матричной форме имеет вид:2015-05-08 17-34-01 Скриншот экрана где постоянная «С» должна быть найдена из условия закрепления внешнего контура пластинки. Так, при шарнирном опирании:2015-05-08 17-35-03 Скриншот экрана,а в случае жесткого защемления 2015-05-08 17-35-46 Скриншот экрана