Прямоугольный вертикальный резервуар. Расчет стенок

Рассмотрим резервуар прямоугольного сечения с жестким днищем под действием внутреннего бокового гидростатического давления 2015-04-07 22-04-07 Скриншот экрана

Прямоугольный вертикальный резервуар

Прямоугольный вертикальный резервуар

Покажем результат вспомогательного расчета прямоугольной замкнутой рамы на действие равномерно распределенной нагрузки q0=1 в виде эпюры прогибов:2015-04-07 22-08-35 Скриншот экрана

Элементы рамы, имеющие длину «а», изгибаются по закону:2015-04-07 22-09-21 Скриншот экрана

а элементы длиной «b»:

2015-04-07 22-10-01 Скриншот экранаДля получения безразмерных   функций   поперечного   распределения прогибов достаточно функции прогибов wa(x)   и   wb(x)   разделить   на коэффициент

 2015-04-07 22-11-03 Скриншот экрана Тогда получим:

2015-04-07 22-12-04 Скриншот экрана

Теперь, чтобы заданную нагрузку 2015-04-07 22-04-07 Скриншот экрана представить в виде 2015-04-07 22-13-13 Скриншот экрана в качестве q0 выберем величину 2015-04-07 22-11-03 Скриншот экрана , а   2015-04-07 22-14-03 Скриншот экрана.

При таком выборе функций коэффициенты А, В, С получат следующий вид:     2015-04-07 22-14-54 Скриншот экранаа свободный член уравнения   2015-04-07 22-15-46 Скриншот экранаЗначения этих коэффициентов, вычисленные для нескольких отношений 2015-04-07 22-16-41 Скриншот экрана сторон прямоугольного контура, приведены в таблице :2015-04-07 22-17-20 Скриншот экрана

 

При решении уравнения 2015-04-06 21-13-53 Скриншот экрана  (см. рубрику «Вариационный метод Власова-Канторовича») вместо «у» введем безразмерную  координату 2015-04-07 22-20-02 Скриншот экрана.Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

2015-04-07 22-21-17 Скриншот экрана

С помощью обозначений  2015-04-07 22-23-20 Скриншот экранаи  2015-04-07 22-23-52 Скриншот экранаэто уравнение будет содержать только две характеристики: 2015-04-07 22-24-28 Скриншот экрана

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:2015-04-07 22-25-27 Скриншот экрана

Это решение представляется в виде:2015-04-07 22-26-10 Скриншот экрана

где: C1, С2, С3, С4 — произвольные постоянные интегрирования,

Ф12, Ф3, Ф4 — частные интегралы однородного дифференциального  уравнения, причем Ф1  и Ф3 являются нечетными функциями, а Ф2, Ф4 — четными. 

Вид   этих   функций   зависит   от   вида   корней   характеристического уравнения: 2015-04-07 22-28-05 Скриншот экрана,которые определяются формулой:2015-04-07 22-28-54 Скриншот экранаи зависят от соотношения между s и r.

Возможны четыре случая:

1) s>r; все четыре значения k– комплексные 2015-04-07 22-30-08 Скриншот экрана,где α и β — действительные положительные числа:

2015-04-07 22-31-02 Скриншот экрана

2)  s=r; все четыре значения k -действительные, попарно равные: k1=k2=r,

k3=k4=-r

3)  s<r; все четыре значения k-действительные:

2015-04-07 22-32-29 Скриншот экрана

4) s=0; при этом k1=k2= 0, k3=-k4= r.

Профессором В.З.Власовым показано, что для пластинок с неподвижными продольными краями s≥r. Поэтому в дальнейшем ограничимся этими двумя случаями.

Покажем таблицу, в которой приведены выражения функций Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 и их трех последовательных производных, а также первые интегралы от этих функций.2015-04-07 22-34-59 Скриншот экранаФункции Ф1, Ф2, Ф3, Ф4  табулированы и их можно найти в рубрике «Таблицы».

Что касается частного решения неоднородного уравнения 2015-04-07 22-24-28 Скриншот экрана , то оно зависит от вида правой части «G».

Для   рассматриваемой  нами  задачи  этим  частным   решением   будет:2015-04-07 22-39-02 Скриншот экраначто после подстановок   2015-04-07 22-40-08 Скриншот экрана и2015-04-07 22-23-52 Скриншот экранадаст выражение:2015-04-07 22-41-22 Скриншот экрана

Таким образом, полным решением уравнения 2015-04-07 22-24-28 Скриншот экранаявляется: 2015-04-07 22-42-47 Скриншот экрана (1)

Для определения значений произвольных постоянных интегрирования С, ... , С4 используются граничные условия задачи. Так, в верхнем сечении резервуара, при у=0 (η=0), грани свободны от закреплений. Следовательно, в точках верхнего сечения отсутствуют обобщённый изгибающий момент и обобщённая поперечная сила, то есть2015-04-07 22-44-34 Скриншот экрана (2)

В безразмерных координатах эти условия примут вид:2015-04-07 22-45-29 Скриншот экрана (3)

Если днище резервуара имеет конечную жёсткость, то для формулировки граничных условий в нижнем сечении нужно учитывать факт упругого защемления, для чего следует предварительно решить вспомогательную задачу с целью определения степени податливости закрепления. Максимально упрощая задачу, предположим, что днище резервуара настолько жёсткое, что можно рассматривать нижние кромки граней жёстко защемлёнными и тогда при у=ℓ (или η=l) должен отсутствовать прогиб и угол поворота. Тогда: f (l)=0,   f′(l)=0  (4).

Подчинив решение (1)  граничным условиям (3) — (4), будем иметь (для случая s>r):2015-04-07 22-52-56 Скриншот экрана(5)

Значения функции Ф1 ÷Ф4 в двух последних равенствах соответствуют величине параметра η=1 . При выборе функций в таблицах следует принять:2015-04-07 22-55-45 Скриншот экрана

Решив систему алгебраических уравнений (5), найдём значения постоянных C1÷C4, которые после подстановки в (1) определят функцию f (y), и тогда искомая функция прогиба будет, наконец, найдена по формуле w (x,y)=f (y)∙φ(x).  

Для усилий в любой точке стенок резервуара справедливы формулы:    2015-04-07 22-59-09 Скриншот экрана(6)  

По известным усилиям определяются напряжения в любой точке стенок резервуара.(См."Изгиб прямоугольных пластинок. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки")