Пример расчёта круглой пластинки переменной толщины численным методом

Дано: материал: сталь с Е=2∙106 кг/см2 и μ=0,3.2015-04-10 19-24-48 Скриншот экрана

Для реализации численного алгоритма поперечное сечение пластинки следует разбить на участки сечениями от 1 до 12 , при этом плавный характер изменения толщины заменяется ступенчатым (показано пунктиром).

При заданном характере загружения безразмерный параметр поперечной силы 2015-04-10 19-26-24 Скриншот экранаопределяется непосредственно из уравнений равновесия. Так, на участке от оси симметрии до точки приложения кольцевой нагрузки Т:2015-04-10 19-28-09 Скриншот экранаа на участке переменного сечения, при

t1< t<1:2015-04-10 19-29-49 Скриншот экранаи тогда 2015-04-10 19-30-36 Скриншот экрана

Здесь за характерную цилиндрическую жесткость D0 принята жесткость среднего сечения пластинки, имеющего толщину h0=4см:2015-04-10 19-31-30 Скриншот экрана

При выбранных размерах шага ак, которые показаны на схеме, составим таблицу геометрических параметров в характерных сечениях пластинки (табл.1)

      Таблица 1

Таблица 1

Таблица 1

Поскольку одна из искомых величин (а именно поперечная сила х3) нам уже известна, из четырех разрешающих дифференциальных уравнений остаются только три2015-04-10 19-37-59 Скриншот экрана

В матричной форме эта система уравнений имеет вид:2015-04-10 19-39-13 Скриншот экрана2015-04-10 19-39-58 Скриншот экрана

Численное интегрирование этой системы уравнений проведем методом Эйлера, разбивая область интегрирования на участки длиной ак. Тогда будем иметь:2015-04-10 19-41-29 Скриншот экрана

При μ=0,3 эти уравнения принимают вид:2015-04-10 19-42-36 Скриншот экранаКомпоненты общего решения системы дифференциальных уравнений в соответствии с формулой 2015-04-10 19-43-43 Скриншот экранавычисляем в таблице 2. При этом в качестве начального вектора общего решения для пластинки без центрального отверстия следует принимать:

2015-04-10 19-44-58 Скриншот экрана                                                                       Таблица 22015-04-10 19-45-40 Скриншот экрана2015-04-10 19-46-24 Скриншот экрана2015-04-10 19-47-06 Скриншот экрана2015-04-10 19-49-33 Скриншот экрана

Частное решение найдем в таблице 3, приняв начальный вектор в виде:2015-04-10 19-51-34 Скриншот экрана                                                                                                          Таблица 32015-04-10 19-52-09 Скриншот экрана2015-04-10 19-54-40 Скриншот экрана2015-04-10 19-55-40 Скриншот экрана2015-04-10 19-57-15 Скриншот экрана

 Постоянную интегрирования «С» найдем из условия отсутствия угла поворота в заделке на внешнем контуре при t=1:2015-04-10 22-11-05 Скриншот экрана

Подставляя значение параметров 2015-04-10 22-12-03 Скриншот экрана и 2015-04-10 22-12-36 Скриншот экрана для сечения №12 из табл.2 и 3, имеем:2015-04-10 22-15-39 Скриншот экрана

Тогда окончательные значения компонентов вектора состояния в соответствии с равенством Х=С∙Хооч будут найдены путем вычислений, представленных в таблице 4.2015-04-10 22-17-50 Скриншот экрана2015-04-10 22-18-45 Скриншот экрана2015-04-10 22-21-09 Скриншот экрана

Вычисление окружного изгибающего момента М2 производится в таблице 5 в соответствии с формулой:2015-04-10 22-22-32 Скриншот экрана  Таблица 52015-04-10 22-23-12 Скриншот экрана

Найдем также и эквивалентные напряжения по энергетической теории прочности в сечениях пластинки в соответствии с формулой2015-04-10 22-25-43 Скриншот экрана, заполнив таблицу 6:2015-04-10 22-26-45 Скриншот экрана

По результатам таблиц 4, 5 и 6 могут быть построены эпюры прогиба, изгибающих моментов радиального (М1) и окружного (М2)направлений, а также поперечной силы.

Вычислим здесь значения максимальных ординат этих эпюр:2015-04-10 22-28-46 Скриншот экрана