Пример расчета круглой пластинки ступенчатого сечения с кольцевыми ребрами без отверстия

Пластинка без отверстия. H=3h, а=10h, μ=0,3. Требуется определить изгибающие моменты в пластинке и построить их эпюры.

2015-03-23 19-09-16 Скриншот экрана

Прежде всего, необходимо выполнить следующее:

а) присвоить номера участкам (I, II, III, IV) и ребрам (Р1, Р2) пластинки по направлению от оси симметрии к внешнему контуру,

б) обозначить начало и конец каждого из участков (1 и 1+, 2 и 2+, 3 и 3+, 4 и 4+),

в) выбрать характерную толщину (например h0=h) и характерную жесткость D0 (например 2015-03-23 19-11-47 Скриншот экрана).

г) определить параметры 2015-03-23 19-13-43 Скриншот экранадля каждого участка, после чего выразить жесткости участков через один параметр, например D.

Тогда для «тонких» участков будет: 2015-03-23 19-14-23 Скриншот экрана,

а для «толстого»  участка 2015-03-23 19-16-19 Скриншот экрана   соответственно.

Решение:

а) Нумеруем участки (I, II, III) и ребра (Р1).

б) Обозначаем начало и конец каждого участка (см. схему).

в) Принимаем в качестве характерной толщины h0=h. Тогда характерная жесткость 2015-03-23 19-17-35 Скриншот экрана

г) Вычисляем параметры λ каждого участка:2015-03-23 19-19-39 Скриншот экрана

Жесткость «толстого» участка (в примере это первый участок) будет

D11∙D=27∙D,

а «тонких» участков: D2= D3= D.

Теперь можно приступать к формированию матриц перехода для каждого участка:

для участка I:  параметр 2015-03-23 19-22-10 Скриншот экрана, где r1 – радиус-вектор начала участка, а r2 – конца. Когда пластинка имеет центральное отверстие, то эти радиус-векторы оба имеют конечные значения, и никаких вычислительных проблем не возникает. Но в пластинке без отверстия для первого участка формально r1=0. Однако, с целью избежать дальнейших трудностей численного алгоритма решения, следует «отступить» от центра пластинки на любую малую величину ∆r и «положить» радиус-вектор начала участка r1=∆r. Саму величину ∆r можно принять, например, равной 0,1а (или 0.01а, или 0,001а…). Пусть ∆r=0,1а. Тогда 2015-03-23 19-25-32 Скриншот экранаЗначение D11D=27D.

Компоненты матрицы перехода для I-го участка будут:2015-03-23 19-26-36 Скриншот экранаи тогда 2015-03-23 19-27-32 Скриншот экрана

— для участка II: 

2015-03-23 19-28-50 Скриншот экрана

— для участка III: 

2015-03-23 19-29-49 Скриншот экрана

— для ребра Р1: 

2015-03-23 19-31-17 Скриншот экрана

Далее формируем грузовые векторы для участков:

-для участка I: 

2015-03-23 19-32-56 Скриншот экрана2015-03-23 19-33-44 Скриншот экрана-для участка II: 

2015-03-23 19-34-50 Скриншот экрана-для участка III: 

2015-03-23 19-35-57 Скриншот экрана2015-03-23 19-36-32 Скриншот экрана

Переходим к реализации алгоритма численного метода решения задачи.

С этой целью задаемся начальными векторами общего и частного решений в сечении 1. В нашем примере пластинка не имеет отверстия. Поэтому:2015-03-23 19-39-32 Скриншот экрана

Далее отыскиваем вектор общего решения в сечении 1+ переходом через участок I:2015-03-23 20-05-14 Скриншот экрана

Вектор общего решения в сечении 2 отличается от вектора в сечении 1+ тем, что вторая его компонента должна быть уменьшена в λ1 раз, а именно:2015-03-23 20-06-10 Скриншот экрана

Вектор общего решения в сечении 2+ получается переходом через участок II:2015-03-23 20-07-07 Скриншот экрана

Далее вектор общего решения в сечении 3 требует перехода через ребро Р1, поэтому2015-03-23 20-08-20 Скриншот экрана

Наконец, вектор общего решения в сечении 3+ получится переходом через участок III:

2015-03-23 20-09-22 Скриншот экрана

Теперь находим вектора частных решений в тех же сечениях:2015-03-23 20-10-06 Скриншот экрана

Сечение 2 отличается от сечения 1+ только меньшей толщиной, и следовательно меньшей жесткостью. Поэтому, как и в векторе общего решения,  вторую компоненту делим на λ1:

2015-03-23 20-11-31 Скриншот экрана

Далее переходом через участок II находим:

2015-03-23 20-12-33 Скриншот экрана

Вектор частного решения в сечении 3 получится переходом через ребро Р1:2015-03-23 20-13-30 Скриншот экрана

И наконец, вектор частного решения в сечении 3+ требует перехода через участок III:

2015-03-23 20-14-21 Скриншот экрана

Определение постоянной «С».

Полное решение  Х=СХоочастн..

Постоянная «С» определяется из условий закрепления внешнего контура пластинки. В данном случае, при жестко закрепленном внешнем контуре равен нулю угол поворота, то есть при r=3а:2015-03-23 20-16-18 Скриншот экрана

Здесь 3а – радиус-вектор внешнего контура, а х1 – верхняя компонента в векторе состояния.

Из вектора частного решения, соответствующего внешнему контуру (это сечение 3+) верхняя компонента  2015-03-23 20-17-49 Скриншот экрана, а верхняя компонента вектора общего решения в том же сечении х1=1,3293. Подставляя в выражение для «С», находим:

2015-03-23 20-19-00 Скриншот экрана

Теперь находим вектора полного решения в каждом из рассмотренных сечений пластинки:2015-03-23 20-19-55 Скриншот экрана

Построение эпюр изгибающих моментов

Вспомним структуру вектора состояния:2015-03-23 20-20-59 Скриншот экранагде: 2015-03-23 20-21-43 Скриншот экрана - отношение угла поворота к радиус-вектору,

2015-03-23 20-22-29 Скриншот экранаотношение радиального изгибающего момента к характерной   жесткости.

Очевидно, что для построения эпюры радиальных моментов М1 достаточно компоненты х2 умножить на D0 (в данном примере принято D0=D). Тогда найдем:2015-03-23 20-23-44 Скриншот экрана

Если окружной изгибающий момент М2 выразить через М1, то получим2015-03-23 20-24-30 Скриншот экрана где х1 – первая компонента вектора состояния,      Di —  жесткость в рассматриваемом сечении.

Таким образом, находим:2015-03-23 20-25-54 Скриншот экрана2015-03-23 20-26-30 Скриншот экрана

По полученным результатам строим эпюры М1 и М2.

 2015-03-23 20-27-38 Скриншот экрана