Пример расчета цилиндрического горизонтального резервуара для хранения жидкости с объемным весом γ

Для горизонтального цилиндрического резервуара, находящегося под действием веса жидкости, требуется: определить усилия, напряжения и перемещение в среднем сечении резервуара как в пустотелой балке кольцевого сечения; найти напряжения, усилия и перемещения дополнительного состояния; построить эпюры нормальных напряжений продольного направления и изгибающих моментов в среднем сечении резервуара при 2015-04-12 16-14-10 Скриншот экрана; найти опасную точку в среднем сечении резервуара и выполнить проверку прочности, используя третью теорию прочности, приняв допустимое напряжение стали [σ]=210 МПа; определить наибольший прогиб резервуара.Дано:2015-04-12 17-44-07 Скриншот экрана

1.Определение усилий, напряжений и перемещений в среднем сечении резервуара как в балке кольцевого сечения2015-04-12 16-18-21 Скриншот экрана2015-04-12 16-20-27 Скриншот экрана

Наибольшее балочное нормальное напряжение в среднем сечении в точке, где φ=0:2015-04-12 16-21-29 Скриншот экрана

Строим эпюру нормальных напряжений продольного направления,  вычисленных как в балке кольцевого сечения2015-04-12 16-44-11 Скриншот экрана по формуле 2015-04-12 16-45-02 Скриншот экрана (рис. а), которые соответствуют значению n=1.

2015-04-12 16-49-04 Скриншот экрана

Наибольший балочный прогиб в середине (при х=0):2015-04-12 16-22-20 Скриншот экрана

2.Определение напряжений, усилий и перемещений дополнительного состояния

На любую точку стенки резервуара ниже уровня жидкости (при 0≤φ≤α) действует давление2015-04-12 16-24-26 Скриншот экрана

После подстановки этого выражения в 2015-04-12 16-27-48 Скриншот экрана -

для грузового члена уравнения 2015-04-12 15-45-53 Скриншот экрана получаем:2015-04-12 16-30-14 Скриншот экрана

Рассматриваемым в нашей задаче граничным условиям соответствует тригонометрический ряд 2015-04-12 16-01-30 Скриншот экрана. а поскольку действующая нагрузка распределена по длине резервуара равномерно, то при решении задачи можно ограничиться одним первым членом этого разложения, то есть положить m=1. Тогда это выражение  примет вид:2015-04-12 16-32-48 Скриншот экрана, где2015-04-12 16-33-24 Скриншот экрана

Так как Gn не зависит от х, то получаем:2015-04-12 16-34-33 Скриншот экрана

Это выражение справедливо для каждого члена с индексом n≥2 разложения2015-04-12 15-58-29 Скриншот экранаИндекс же n=1 соответствует изгибу оболочки как простой балки с недеформируемым контуром сечения, и такая задача решается элементарными методами сопротивления материалов

Тогда функция перемещений Ф(х,s) определится в виде:2015-04-12 16-37-36 Скриншот экрана

Далее выпишем формулы произвольных членов рядов для нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки, изгибающих моментов в продольных сечениях оболочки и радиальных перемещений (эти формулы справедливы только для n≥2):2015-04-12 16-41-09 Скриншот экрана(2)

3. Построение эпюры нормальных напряжений продольного направления σх в среднем сечении.

Применим формулы (2) для определения напряжений, усилий и перемещений в среднем сечении резервуара, при 2015-04-12 16-14-10 Скриншот экрана. В качестве характерных точек среднего сечения выбираем точки, соответствующие значениям угла φ=0°; 45°; 90°; 135° и 180°.

Так, для n=2 найдем:2015-04-12 16-53-17 Скриншот экранаТогда по (2) для напряжений:2015-04-12 16-55-01 Скриншот экранаПокажем результаты на эпюре (рис.б)2015-04-12 16-56-22 Скриншот экрана

Для n=3:2015-04-12 17-33-30 Скриншот экрана

Эпюра σ для n=3 приведена на рис. в.2015-04-12 17-35-15 Скриншот экрана

Для  n=4:2015-04-12 17-36-32 Скриншот экрана

Данные показаны на эпюре рис.г. Эти значения уже на порядок меньше, и их можно не учитывать в общей сумме. Суммируя напряжения в характерных точках при n=1, n=2 и n=3, получаем окончательную эпюру нормальных напряжений продольного направления (то есть в поперечном сечении оболочки), показанную на рис д. Все эпюры изображены  только для половины сечения оболочки. Все они симметричны относительно вертикальной оси z.

Далее определяем значения изгибающих моментов поперечного направления, возникающих вследствие деформации контура поперечного сечения цилиндрической оболочки резервуара, пользуясь для этого формулой (2) для изгибающего момента2015-04-12 17-42-19 Скриншот экранаСначала вычислим первый множитель формулы 2015-04-12 17-43-21 Скриншот экрана

Значения второго множителя формулы будем брать из предыдущих вычислений (корректируя умножением на 2015-04-12 17-45-53 Скриншот экрана 

Тогда для n=2 найдем:2015-04-12 17-46-55 Скриншот экрана

Для n=3:2015-04-12 17-49-50 Скриншот экрана

Для n=4:2015-04-12 17-50-33 Скриншот экрана

Покажем суммарную эпюру изгибающих моментов, возникающих в среднем сечении оболочки 2015-04-12 16-14-10 Скриншот экрана

Эпюра изгибающих моментов в среднем сечении

Эпюра изгибающих моментов в среднем сечении

Найдем радиальные смещения характерных точек среднего сечения оболочки по формуле из (2)2015-04-12 17-53-33 Скриншот экрана

Значения первого множителя этой формулы2015-04-12 17-54-40 Скриншот экрана

Для n=2:2015-04-12 17-55-32 Скриншот экрана

Для n=3:2015-04-12 17-56-18 Скриншот экрана

Для n=4:2015-04-12 17-56-56 Скриншот экрана

Суммируя, найдем радиальные смещения характерных точек среднего сечения оболочки:2015-04-12 17-57-39 Скриншот экранаПокажем их на эпюре:

Эпюра радиальных смещений в среднем сечении

Эпюра радиальных смещений в среднем сечении

4.Определение опасной точки в среднем сечении резервуара и проверка прочности.

Материал исследуемого среднего сечения резервуара испытывает действие нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных направлениях: во-первых, продольных нормальных напряжений, которые распределяются по толщине оболочки равномерно, и во-вторых, нормальных напряжений поперечного направления от поперечных изгибающих моментов. Эти поперечные нормальные напряжения по толщине оболочки изменяются по линейному закону, достигая наибольших значений на внешней и внутренней поверхностях 2015-04-12 18-01-28 Скриншот экрана, где2015-04-12 18-02-09 Скриншот экранапогонный момент сопротивления.

Чтобы определить положение опасной точки, придется проанализировать напряженное состояние в нескольких характерных зонах среднего сечения (они обозначены буквами А, В и С на эпюрах Эпюра изгибающих моментов в среднем сечении  и Эпюра радиальных смещений в среднем сечении).

Начнем с верхней зоны «В». На элемент, вырезанный в этом месте, действуют следующие напряжения:2015-04-12 18-15-09 Скриншот экрана

В точке В1 (у внешней поверхности оболочки) главные напряжения таковы:2015-04-12 18-16-29 Скриншот экрана

Эквивалентное (расчетное) напряжение по ΙΙΙ теории  прочности равно:2015-04-12 18-17-11 Скриншот экрана

В точке В2 (у внутренней поверхности) главные напряжения таковы:2015-04-12 18-18-20 Скриншот экрана

Эквивалентное напряжение по ΙΙΙ теории  прочности: 2015-04-12 18-19-03 Скриншот экрана

Нижняя зона «С». На элемент, выделенный в этом месте, действуют напряжения:2015-04-12 18-19-48 Скриншот экранаВ точке С1 (у внешней поверхности оболочки)  главные напряжения:2015-04-12 18-20-45 Скриншот экрана

Тогда эквивалентное напряжение2015-04-12 18-21-22 Скриншот экрана

В точке С2 (у внутренней поверхности цилиндра) главные напряжения таковы:      2015-04-12 18-22-24 Скриншот экрана

Эквивалентное напряжение2015-04-12 18-23-08 Скриншот экрана

Наконец, в точке «А», принадлежащей горизонтальному диаметру:2015-04-12 18-23-52 Скриншот экрана

В точке А1 (у внешней поверхности):      2015-04-12 18-24-45 Скриншот экрана       Здесь главные напряжения: σ1=8,69; σ2=0; σ3=-29,36, а эквивалентное по ΙΙΙ теории  прочности равно:2015-04-12 18-26-26 Скриншот экрана

В точке А2 (у внутренней поверхности):  2015-04-12 18-27-21 Скриншот экранаГлавные напряжения в этой точке: σ1=0; σ2=-8,69; σ3=-29,36, а эквивалентное 2015-04-12 18-28-02 Скриншот экрана

Анализ показывает, что опасной точкой (то есть с наибольшим расчетным напряжением) является точка В2, расположенная у внутренней поверхности верхней зоны вертикального диаметра в среднем сечении резервуара, где 2015-04-12 18-29-01 Скриншот экранаСледовательно, прочность конструкции обеспечена.

5.Определение наибольшего прогиба резервуара

Полный прогиб складывается из балочного прогиба ( f° ) и радиального смещения (w). Так, в среднем сечении максимальный балочный прогиб равен 0,024м, а радиальное смещение нижней точки w= — 0,0136м. В сумме это дает2015-04-12 18-32-01 Скриншот экрана

Верхняя точка среднего сечения опустится на величину: 2015-04-12 18-32-44 Скриншот экрана