Изгиб прямоугольных пластинок. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Для расчета тонких пластинок с   2015-04-05 17-28-05 Скриншот экрана  прямоугольной и трапециевидной формы более удобными оказываются декартовы координаты 2015-04-05 17-29-38 Скриншот экрана

Результатом использования гипотез Кирхгоффа в задаче изгиба пластинок в декартовой системе координат является:

- дифференциальное уравнение изогнутой поверхности:

2015-04-05 17-31-29 Скриншот экрана , где: w = w (x,у) — функция прогиба, а  2015-04-05 17-32-26 Скриншот экрана - цилиндрическая жесткость. 

 Уравнение это называют уравнением Софи Жермен, оно представляет собою дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка относительно функции w, зависящей от двух переменных (х и у). Общего решения этого уравнения, как и большинства других уравнений в частных производных, в математике неизвестно. Поэтому прямой метод решения, как это делается при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, здесь оказывается невозможным, и приходится применять либо обратный метод (т. н. метод проб и ошибок) либо полуобратный метод, требующий всего одной попытки.

Наиболее универсальными, хотя и приближенными аналитическими методами расчета пластинок являются вариационные методы. Это метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова- Галеркина и метод Власова-Канторовича. Любой из них позволяет найти функцию прогиба w (x,у), удовлетворяющую как уравнению (1), так и конкретным граничным условиям на контуре пластинки. Все остальные параметры, в частности, усилия, напряжения, деформации и перемещения, определяются уже через найденную функцию прогиба. Приведем без вывода формулы внутренних усилий и напряжений в пластинке.

Усилия и напряжения в пластинках (пластинах). Внутренние усилия в сечениях пластинки:

— изгибающие моменты

 2015-04-05 17-37-18 Скриншот экрана

— крутящие моменты 2015-04-05 17-38-20 Скриншот экрана

— поперечные силы   2015-04-05 17-39-08 Скриншот экрана

Соответственно шести усилиям в сечениях пластинки возникают и шесть составляющих напряжений:

— нормальные напряжения 

2015-04-05 17-40-07 Скриншот экрана

касательные напряжения, действующие параллельно срединной плоскости (с.п.) пластинки 

2015-04-05 17-41-15 Скриншот экрана

— касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости пластинки 

2015-04-05 17-42-08 Скриншот экрана

В формулах напряжений обозначено:

2015-04-05 17-44-59 Скриншот экранамомент инерции сечения шириной, равной 1 и высотой h (погонный момент инерции),  z — расстояние от срединной плоскости пластинки до той точки, где определяется напряжение. 

Покажем эпюры напряженийЭпюры напряжений в прямоугольной пластинке при изгибе

Эпюры напряжений в прямоугольной пластинке при изгибе

Наибольших значений нормальные напряжения достигают в точках, расположенных у поверхностей пластинки, наиболее удаленных от срединной плоскости, при 2015-04-05 17-48-54 Скриншот экрана :2015-04-05 17-49-37 Скриншот экрана, где

2015-04-05 17-50-19 Скриншот экранапогонный метр сопротивления, то есть момент сопротивления сечения единичной ширины.

Касательные напряжения, параллельные срединной плоскости, достигают наибольшей величины тоже в точках у поверхностей пластинки:2015-04-05 17-51-25 Скриншот экрана

а касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости, наоборот, имеют максимум в точках срединной плоскости (при z=0):

2015-04-05 17-52-31 Скриншот экрана

Для сравнения —  в балке при изгибе возникают всего две составляющие напряжений: это σх и τzx.