Расчет круглых пластинок (пластин) постоянной толщины на действие осесимметричной нагрузки

Гипотезы Кирхгоффа для тонких пластинок и основные зависимости для расчета

Многие элементы конструкций, такие как днища и крышки резервуаров, аппаратов, люков и т.п., представляют собой круглые пластинки. Наиболее простой вид деформации таких элементов – их осесимметричный изгиб, который мы и будем рассматривать.

На рис.1 показано диаметральное сечение круглой пластинки и несколько осесимметричных нагрузок:

F– сосредоточенная сила в центре пластин,

T– кольцевая нагрузка,

q – распределённая нагрузка.

2014-12-01 20-26-12 Скриншот экранаРис 1

hхарактерная толщина пластинки (она может быть постоянной, а может быть и переменной),

а – внешний радиус пластинки.

Срединная плоскость делит толщину пластинки пополам. Вертикальные  линейные перемещения точек срединной плоскости (по оси z) называются прогибами и обозначаются буквой w.

Пластинка считается тонкой, если её толщина не превышает пятой части диаметра 2014-12-01 20-28-29 Скриншот экрана,а наибольший прогиб не превышает пятой части толщины 2014-12-01 20-29-30 Скриншот экрана.

Для таких пластинок справедливы допущения, называемые гипотезами Кирхгоффа:

  1. Считается, что любой нормальный элемент (перпендикуляр к срединной плоскости) остается нормальным  к срединной поверхности в процессе изгиба пластинки и длина его при этом не изменяется.
  2. Считается, что в точках срединной поверхности пластинки отсутствуют деформации растяжения, сжатия и сдвига.
  3. Считается, что напряжения в сечениях, параллельных срединной плоскости, пренебрежимо малы по сравнению с остальными напряжениями.

Будем различать в пластинке два направления:

1–радиальное (все параметры такого направления обозначим индексом «1»),

2–окружное (все параметры этого направления будем отмечать индексом «2»).

Рассмотрим положение в пространстве до и после изгиба пластинки двух смежных бесконечно близких точек В и В', отстоящих от срединной плоскости на произвольном расстоянии «z» (рис.2).

2014-12-01 20-33-18 Скриншот экранаРис 2

В соответствии с гипотезами Кирхгоффа для радиальной и окружной деформации получаем:

2014-12-01 20-35-01 Скриншот экрана (1)

Тогда из закона Гука для плоского напряжённого состояния (σ1≠0, σ2≠0, σz=0) следует:

2014-12-01 20-36-13 Скриншот экрана (2), где2014-12-01 20-37-16 Скриншот экрана

Зависимость между прогибом (w) и углом поворота (θ) следует из рассмотрения рис. 3:

Р2014-12-01 20-38-32 Скриншот экранаРис 3

А именно, 2014-12-01 20-39-29 Скриншот экрана (3)

 

Напряжения на гранях элемента, выделенного из пластинки двумя радиальными и двумя окружными сечениями, показаны на рис.4.

2014-12-01 20-42-03 Скриншот экранаРис 4

Вычислим внутренние усилия на гранях элемента, показанного на рис.4.

Нормальные напряжения σ1 группируются в изгибающий момент М1, а σ2 – в изгибающий момент М2:

2014-12-01 20-43-33 Скриншот экрана (4), где

2014-12-01 20-44-14 Скриншот экрана -цилиндрическая жёсткость пластинки.

Касательные напряжения, собранные с площадки единичной ширины, образуют поперечную силу в окружном сечении:

2014-12-01 20-45-59 Скриншот экрана

Нормальные напряжения легко выражаются через изгибающие моменты. Для этого достаточно подставить выражения (4) в (2). Тогда получаем:

2014-12-01 20-50-38 Скриншот экрана ,где2014-12-01 20-51-19 Скриншот экрана— это момент инерции прямоугольной полоски единичной ширины.

Эпюры этих напряжений показаны на рис. 5.2014-12-01 20-59-33 Скриншот экранаРис.5

Правило знаков изгибающего момента для круглых пластинок: 

положительным будем считать изгибающий момент, соответствующий растяжению верхнего слоя пластинки.

Наконец, рассмотрим равновесие элемента пластинки под действием усилий и действующей нагрузки (рис.6)

2014-12-01 21-01-25 Скриншот экранаРис.6

Дифференциальное уравнение задачи и его аналитическое решение

Составим два уравнения равновесия:

1. Σz=0 , откуда, пренебрегая бесконечно малыми третьего порядка, имеем:

2014-12-01 21-12-40 Скриншот экрана

или, после сокращения на 2014-12-01 21-13-27 Скриншот экрана,

2014-12-01 21-14-28 Скриншот экрана (5′)

Интегрируя это уравнение, получим:

2014-12-01 21-15-39 Скриншот экрана     (5″)

.

2. ΣΜt=0,откуда после сокращений найдем:

2014-12-01 21-16-53 Скриншот экрана

Заменив по малости 2014-12-01 21-17-37 Скриншот экрана на2014-12-01 21-18-07 Скриншот экрана , сократив на  2014-12-01 21-18-37 Скриншот экранаи разделив все на 2014-12-01 21-19-07 Скриншот экрана, получаем:

2014-12-01 21-19-40 Скриншот экрана (6)

Подстановкой в это уравнение выражений М1 и М2 по формуле (4) получим разрешающее уравнение:

2014-12-01 21-21-28 Скриншот экрана (7)

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции угла поворота θ ( r ).

Можно получить разрешающее уравнение для осесимметричного изгиба круглых пластинок и через функцию прогиба w ( r ), но оно будет иметь четвертый  порядок:

2014-12-01 21-23-07 Скриншот экрана (8) 

Рассмотрим схему решения уравнения (7) методом Эйлера. Полное решение состоит из общего и частного решения:

2014-12-01 21-24-42 Скриншот экрана

Общее решение однородного уравнения по Эйлеру отыскивается с помощью подстановки:2014-12-01 21-25-33 Скриншот экранаТогда:

2014-12-01 21-26-31 Скриншот экрана

и однородное уравнение, соответствующее (7), будет:

2014-12-01 21-27-24 Скриншот экрана

откуда имеем характеристическое уравнение:

2014-12-01 21-28-18 Скриншот экрана

Его корнями являются: α1=+1, α2=-1, и соответствующее общее решение однородного уравнения (7) будет:

2014-12-01 21-29-35 Скриншот экрана (9) ,

где: А и В – постоянные интегрирования.

С целью отыскать частное решение неоднородного уравнения свернем его левую часть  к виду:

2014-12-01 21-30-55 Скриншот экрана

Тогда уравнение (7) примет вид:

2014-12-01 21-31-46 Скриншот экрана

Дважды интегрируя, найдем:

2014-12-01 21-32-25 Скриншот экрана

Очевидно, что два первых слагаемых представляют общее решение, а последнее – решение частное:

2014-12-01 21-33-38 Скриншот экрана (10)

Здесь: s – текущая координата  (радиус)  внутри интервала (r0, r).

 Расчет пластинок (пластин) постоянной толщины

Пример 1. Чистый изгиб сплошной круглой пластинки моментами,  распределенными по шарнирно опертому контуру.

2014-12-02 20-10-53 Скриншот экрана

В данном случае поперечная нагрузка отсутствует. Равна нулю и поперечная (перерезывающая) сила Q®=0.

Поэтому частное решение (10) также равно нулю, и остается только общее решение (9). Итак,

2014-12-02 20-12-12 Скриншот экрана

Значения А и В следует искать из граничных условий:

—   на внешнем контуре (r=a) нам известен радиальный изгибающий момент М1=m,                                                                                                            

—   в начале координат, при r=0 из соображений симметрии угол поворота должен равняться нулю: θ=0.                                                                   

Подчиняя решение (9) второму условию, имеем:2014-12-02 20-14-12 Скриншот экрана,

откуда В=0, так как если В≠0, то θ→∞.

Тогда из первого условия найдем:

2014-12-02 20-15-22 Скриншот экранаи тогда 

2014-12-02 20-16-15 Скриншот экрана— это угол поворота в любой точке на расстоянии r от оси симметрии.

В данном случае  при В=0 изгибающий  момент окружного направления будет равен:

2014-12-02 20-18-09 Скриншот экрана

то есть М2= М1,

а прогиб любой точки из уравнения (3):

2014-12-02 20-19-09 Скриншот экрана

Постоянную «С» найдем из условия шарнирного закрепления контура (при r=a: w=0): чтобы его удовлетворить, следует положить r0=a, тогда и С=0, а  

2014-12-02 20-20-08 Скриншот экрана

Наибольший прогиб (при r=0) составит:

2014-12-02 20-20-58 Скриншот экрана

Пример 2. Рассмотрим чистый изгиб кольцевой пластинки 

2014-12-02 20-58-35 Скриншот экрана

Общее решение здесь такое же, как и в предыдущем примере, но граничные условия другие, а именно:

при r=a: М1=m,     

при r=b: М1=0.      

Удовлетворяя этим условиям, будем иметь:

2014-12-02 21-00-04 Скриншот экрана

Эпюры изгибающих моментов показаны на схеме.

Для угла поворота получим соотношение:

2014-12-02 21-01-19 Скриншот экрана

Найденное здесь решение для кольцевой пластинки позволяет получить расчетные формулы для кольца как частный случай.

При каких соотношениях а и b кольцевую пластинку можно считать кольцом,

сечения которого поворачиваются без изгиба срединной плоскости?

2014-12-02 21-02-40 Скриншот экрана

Полагая 2014-12-02 21-03-45 Скриншот экрана, преобразуем выражение угла поворота в произвольном сечении кольцевой пластинки к виду:

2014-12-02 21-04-40 Скриншот экрана

где 2014-12-02 21-05-31 Скриншот экрана - момент инерции поперечного сечения кольца шириной «с» и высотой «h»:     

2014-12-02 21-06-17 Скриншот экрана

В рассматриваемых условиях нагружения кольцо испытывает деформацию изгиба. Из условия равновесия половины кольца:

2014-12-02 21-07-19 Скриншот экрана

 

2014-12-02 21-09-06 Скриншот экрана

 или 2Мизг=2mR, откуда  Мизг=m·R.

Следовательно, в сечениях кольца возникают нормальные напряжения от изгиба:

2014-12-02 21-10-41 Скриншот экрана

Из рисунка кольцевой пластинки следует:

2014-12-02 21-12-02 Скриншот экрана

С другой стороны, из закона Гука для растяжения:

2014-12-02 21-12-48 Скриншот экрана

Из геометрических соображений получается тот же результат:

2014-12-02 21-13-34 Скриншот экрана

Пример 3. Сплошная круглая пластинка, защемлённая по внешнему контуру, находящаяся под действием равномерно распределённой нагрузки по всей её площади. Найдём усилия, перемещения, проверим прочность.2014-12-02 21-14-50 Скриншот экрана

В отличие от предыдущих примеров, где на пластинку действовали краевые нагрузки, здесь придётся отыскивать частное решение неоднородного уравнения

2014-12-02 21-15-55 Скриншот экрана

Для определения Q (s) выделим центральную часть пластинки радиусом «s»  и рассмотрим её равновесие:

2014-12-02 21-17-12 Скриншот экрана

Тогда:

2014-12-02 21-17-56 Скриншот экрана

Итак, полное решение будет:

2014-12-02 21-18-51 Скриншот экрана

Граничные условия задачи:

(1)           при r=0, θ=0, откуда: В=0,

и тогда 2014-12-02 21-19-55 Скриншот экрана

(2)   при r=а, θ=0, откуда: 

2014-12-02 21-20-53 Скриншот экрана

Окончательно получаем:

2014-12-02 21-22-13 Скриншот экрана

Вычислим изгибающие моменты:2014-12-02 21-23-09 Скриншот экрана

Для построения эпюр изгибающих моментов вычислим крайние ординаты:

2014-12-02 21-24-11 Скриншот экрана

Найдем прогибы:

2014-12-02 21-25-09 Скриншот экрана

«С» найдем из граничного условия:

при r=a, w=0, откуда:

2014-12-02 21-26-09 Скриншот экрана

Тогда прогиб в любой точке пластинки будет:

2014-12-02 21-26-57 Скриншот экрана

Наибольший прогиб в центре пластинки, при r=0:

2014-12-02 21-28-26 Скриншот экрана

Для оценки прочности пластинки следует найти напряжения.

В точках внешнего контура (r=a) радиальные (σ1) и окружные (σ2) нормальные напряжения у поверхности пластинки, то есть при 2014-12-02 21-29-30 Скриншот экрана

2014-12-02 21-30-09 Скриншот экрана

В центре пластинки, при r=0:

2014-12-02 21-30-58 Скриншот экрана

И в точках, расположенных на контуре, и в центре пластинки имеет место плоское напряженное состояние. Следовательно, оценить прочность материала можно только с помощью теорий прочности. Если материал пластинки пластичный, то рекомендуется применять третью либо четвертую теории. Так, с позиции третьей теории прочности в точках контура (при r=a),

2014-12-02 21-32-36 Скриншот экрана

А в центре пластинки (r=0), где

2014-12-02 21-33-23 Скриншот экрана

Сравнивая величины эквивалентных напряжений, заключаем, что наиболее опасной точкой пластинки является та, что расположена на контуре, и тогда условием прочности будет:

2014-12-02 21-34-33 Скриншот экрана

 

 

Пример 4. Рассмотрим круглую пластинку под действием сосредоточенной силы в ее центре 

2014-12-02 21-35-31 Скриншот экрана

Задача отличается от предыдущей иным частным решением.

В данном случае:

2014-12-02 21-36-33 Скриншот экрана

Подставляя в формулу частного решения (10), имеем:

2014-12-02 21-37-31 Скриншот экрана

Тогда полное решение будет:

2014-12-02 21-38-15 Скриншот экрана

Найдём А и В из граничных условий:

2014-12-02 21-39-35 Скриншот экрана

Тогда полное решение:

2014-12-02 21-40-40 Скриншот экрана

Вычислим изгибающие моменты:

2014-12-02 21-41-37 Скриншот экрана

Эпюры моментов показаны на схеме. Они совмещены на одном графике: правая половина – эпюра М1, а левая – эпюра М2. В центре пластинки, при 2014-12-02 21-43-31 Скриншот экрана,и значения изгибающих моментов стремятся к бесконечности.

А на краю пластинки, при r=a: ℓn1=0, и тогда2014-12-02 21-44-33 Скриншот экрана

Бесконечно большие значения изгибающих моментов являются лишь следствием крайней схематизации (сосредоточенная сила приложена в точке). На самом же деле такого не бывает, нагрузка распределена по некоторой малой площадке, а в малой окрестности точки приложения силы М12, как и во всех других случаях загружения.