Расчет статически определимой многопролетной балки

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные  балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

2018-12-21_21-07-26

  1. Проверим статическую определимость балки по формуле: n=Соп-Ш-3

где n – степень статической определимости,

      Соп – количество неизвестных опорных реакций,

      Ш — количество шарниров,

      3 – количество уравнений статики.

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: Соп = 2+3=5. Балка имеет два шарнира, значит, Ш=2

Тогда  n=5-2-3=0. Балка является статически определимой.

  1. Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок.

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

2018-12-21_21-08-45

Балки, которые опираются только на свои опоры, называются основными. Балки, которые опираются на другие балки, называются  подвесными. Балка СD – основная, остальные – подвесные.

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных. Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком.

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно, строим для нее эпюры Q и М. Начинаем с подвесной балки АВ.

Определяем реакции RА, RВ.

2018-12-21_21-09-37

Наносим реакции на схему.

2018-12-21_21-10-24

Строим Эп Q методом сечений.

2018-12-21_21-23-14

 

Строим Эп М методом характерных точек.

В точке, где Q=0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум. Определим положение т.К, для этого приравниваем уравнение для Q2 к 0, а размер z заменим на х.

2018-12-21_21-11-31

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР.

Балка ЕР относится к простым балкам, эпюры для которых известны.

2018-12-21_21-12-04

2018-12-21_21-13-44

 

 

 

Теперь рассчитываем основную балку СD. В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции RВ и RЕ, направленные в обратную сторону.

2018-12-21_21-15-12

Рассчитываем реакции балки СD.

2018-12-21_21-15-53

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений.

2018-12-21_21-16-45

Строим эпюру М методом характерных точек.

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка.

2018-12-21_21-17-44

Строим эпюру М.

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки, при этом не допускаем переломов на эпюре М.  Задача решена.

2018-12-21_21-18-44

 

Расчет статически определимой фермы

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

2018-12-21_15-45-46

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

2018-12-21_15-47-19

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесияМА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

2018-12-21_15-48-05

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

  1. Метод моментной точки (метод Риттера),
  2. Метод проекций,
  3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

2018-12-21_15-48-58

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О2.

Моментной точкой для О2 будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

2018-12-21_15-51-41

О2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2 – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U2. Для U моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.2018-12-21_15-53-44

Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.2018-12-21_16-02-11

Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.

2018-12-21_16-02-50

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

2018-12-21_16-03-47

Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

2018-12-21_16-04-42

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

х=0,   -U4+ U5=0,   U4= U5

у=0,    V4=0.

Таким образом, стержень V4 - нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

2018-12-21_16-09-38

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из восьми контуров

2017-07-23_19-05-26

 

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_19-06-09

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_19-06-36

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

2017-07-23_19-07-10

 

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-07-46

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_19-09-10

 

Частный случай №2: a=b.

z1=0; z2=0;

2017-07-23_19-10-06

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из четырех контуров

2017-07-23_18-59-17

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_18-59-59

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_19-00-24

Решение уравнения:

2017-07-23_19-00-54

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-01-51

 

Частный случай №1:

2017-07-23_19-02-46

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

2017-07-23_19-03-26

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из любого количества одинаковых контуров

2017-07-23_17-14-342017-07-23_17-15-312017-07-23_17-17-282017-07-23_17-18-03

Система канонических уравнений:

2017-07-23_17-18-52

Коэффициенты уравнений:

2017-07-23_17-19-21

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на 2017-07-23_17-20-35 получим:

2017-07-23_17-21-00

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  zii.

Тогда характеристическое уравнение будет:

2017-07-23_17-22-37,

корнями которого являются:

2017-07-23_17-23-11

Очевидно также, что 2017-07-23_17-23-47.

Тогда общее решение принимает вид:

2017-07-23_17-24-17

Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

2017-07-23_17-25-22

После подстановки имеем:

2017-07-23_17-25-59

откуда находим значения постоянных:

2017-07-23_17-26-33

где введены обозначения:

2017-07-23_17-27-05

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

2017-07-23_17-28-18

Эпюра изгибающих моментов 2017-07-23_17-28-46:

2017-07-23_17-29-14

Здесь:

2017-07-23_17-29-49

                             .

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из двух контуров

2017-07-23_17-06-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_17-07-05

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_17-07-33

Решение канонического уравнения:

2017-07-23_17-08-01

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_17-08-45

С учетом обозначения  2017-07-23_16-46-33:

2017-07-23_17-09-38

Частный случай №1: α=1.

Тогда

2017-07-23_17-10-20

Частный случай №2: 2017-07-23_17-10-47.

В этом случае:

2017-07-23_17-11-18

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из трех контуров

2017-07-23_16-53-06

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-54-08

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_16-54-44

Решение системы канонических  уравнений:

2017-07-23_16-57-39

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2р:

2017-07-23_16-59-02

Введем дополнительно обозначение: 2017-07-23_16-59-42.

Тогда:

2017-07-23_17-00-10

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_17-01-11

Частный случай №2: с=b.

2017-07-23_17-01-55

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

2017-07-23_17-02-50

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:

2017-07-23_17-03-42