Задача про осадку пружины

Определить осадку тарельчатой пружины (рис. 167) в зависимости от силы P.2015-06-05 17-44-48 Скриншот экрана

При решении рассматривать пружину как круговой брус с поперечным сечением в виде прямоугольника [h × (b - a)]. Угол подъема пружины α мал, силы P вследствие малости толщины h и угла α можно считать приложенными на окружностях радиусов а и b.

Будем считать, что прямоугольное поперечное сечение не деформируется и поворачивается в результате силового воздействия на угол φ вокруг некоторой точки О, находящейся на расстоянии с от оси симметрии (рис. 427).2015-06-05 17-56-40 Скриншот экрана

Рассмотрим в сечении пружины точку А с координатами х и у. После поворота сечения эта точка примет положение А' и приблизится к оси симметрии на
Δ = [х cos (α — φ) — у sin (α — φ)] — [х cos α — у sin α].
За малостью углов α и φ можно записать:

2015-06-05 18-00-22 Скриншот экрана

и тогда получаем

2015-06-05 18-01-08 Скриншот экрана

Окружное относительное удлинение, соответствующее перемещению Δ, будет:

2015-06-05 18-02-42 Скриншот экрана

Напряжение σt   равно σt = E εt.

Теперь определим нормальную силу в осевом сечении пружины

2015-06-05 18-06-23 Скриншот экрана

подставляя полученное выше выражение σимеем

2015-06-05 18-07-38 Скриншот экрана

Но, рассматривая условия равновесия половины кольца (рис. 428), убеждаемся, что N = 0.

2015-06-05 18-09-16 Скриншот экрана

Из  этого условия находим

2015-06-05 18-10-24 Скриншот экрана

Найдем теперь момент М:

2015-06-05 18-11-20 Скриншот экрана

С другой стороны, из условий равновесия полукольца (рис. 428) вытекает, что

2015-06-05 18-12-24 Скриншот экрана

Таким образом, получаем

2015-06-05 18-13-26 Скриншот экрана

Исключая отсюда с и подставляя вместо α и φ соответственно 2015-06-05 18-14-47 Скриншот экрана, где w — осадка пружины, находим:

2015-06-05 18-15-55 Скриншот экрана

Непосредственной числовой проверкой можно установить, что при 2015-06-05 18-16-57 Скриншот экрана справедливо соотношение

2015-06-05 18-17-56 Скриншот экрана

Поэтому

2015-06-05 18-18-48 Скриншот экрана

Полученная зависимость между силой Р и осадкой пружины w является нелинейной и в зависимости от отношения  H/h может носить различный характер.

2015-06-05 18-21-29 Скриншот экрана

На рис. 429 показаны кривые зависимости

2015-06-05 18-22-22 Скриншот экрана

Проследим, как меняется вид характеристики пружины 2015-06-05 18-23-31 Скриншот экрана в зависимости от H/h. Кривая, соответствующая 2015-06-05 18-24-54 Скриншот экрана, представляет собой характеристику плоской дисковой пружины. Возрастание высоты H  вызывает прежде всего повышение начальной жесткости пружины, а затем нарушение монотонности хода кривой. При значении 2015-06-05 18-27-34 Скриншот экрана(это легко получить из анализа полученного выражения) на характеристике пружины появляется участок с отрицательной производной, расположенный между двумя экстремальными точками. Этот участок можно назвать участком отрицательной жесткости, поскольку возрастание прогиба в данном случае происходит при уменьшении нагрузки. Такой режим работы пружины является неустойчивым, а усилия, соответствующие экстремальным точкам, будут критическими для данной пружины. После достижения усилием первого экстремума пружина, минуя неустойчивый участок, скачком изменит свой прогиб. Дальнейшая работа будет происходить на правой устойчивой возрастающей части характеристики. Разгрузка пружины вызовет обратное скачкообразное изменение прогиба, соответствующее второму критическому усилию.

Дальнейшее повышение высоты пружины H дает, как видно из рис. 429, еще большее искривление характеристики, и при значениях 2015-06-05 18-30-03 Скриншот экрана последняя начинает
пересекать ось абсцисс. Пружина при силе Р = 0 имеет, следовательно, три формы равновесия, из которых две — устойчивы, а третья — промежуточная—неустойчива. Такая пружина после выщелкивания и разгрузки в начальное положение не возвращается и сохраняет упругий остаточный прогиб, соответствующий точке пересечения кривой с осью абсцисс.