Задача на определение перемещения стержневой системы

Стержневая система (рис. 166), состоящая из трех равных шарнирно скрепленных стержней, нагружена в общем узле силой P. 2015-06-04 22-27-55 Скриншот экрана

Определите перемещение w точки О в зависимости от величины силы P, считая H величиной, малой по сравнению с l , и полагая, что материал стержней подчиняется закону Гука. Истолкуйте полученный результат.

Высота расположения точки О деформированной системы над горизонтальной плоскостью будет H — w. Тогда угол наклона стержней к горизонту будет

2015-06-04 22-42-07 Скриншот экрана

Если обозначить через N сжимающее усилие в стержнях, то из условий равновесия, очевидно, получим

2015-06-04 22-43-27 Скриншот экрана
.
С другой стороны, сила N определяется величиной укорочения каждого стержня

2015-06-04 22-44-21 Скриншот экрана
Из чисто геометрических соображений (рис. 425)

2015-06-04 22-47-00 Скриншот экрана

выражаем Δчерез w:

2015-06-04 22-46-15 Скриншот экрана

За малостью углов α0 и α имеем

2015-06-04 22-48-47 Скриншот экрана

Подставляя α0 и α, получим

2015-06-04 22-50-05 Скриншот экрана

Тогда сила N будет

2015-06-04 22-50-47 Скриншот экрана

Сила Р будет иметь следующее выражение:

2015-06-04 22-51-42 Скриншот экрана

Полученную зависимость можно переписать в безразмерной форме

2015-06-04 22-52-23 Скриншот экрана

и представить в виде кривой (рис. 426).

2015-06-04 22-53-16 Скриншот экрана

Эта кривая имеет две экстремальные точки А и В. На первом участке ОА происходит одновременное возрастание нагрузки и прогиба. Когда сила Р достигает значения, соответствующего первому экстремуму, происходит скачкообразное изменение прогиба (АС, как это показано стрелками). При дальнейшем росте нагрузки перемещение w продолжает увеличиваться. Если теперь систему разгрузить, то стержни останутся в свободном состоянии при 2015-06-04 22-56-24 Скриншот экрана, т.е. узловая точка стержней окажется на величину H ниже неподвижной горизонтальной плоскости. Прикладывая нагрузку обратного знака, можно вызвать обратное прощелкивание системы BD и вернуть ее в начальное положение.

Участок АВ кривой соответствует неустойчивым формам равновесия. Таким образом, при значениях силы Р, лежащей между двумя экстремумами (рис. 426)

2015-06-04 22-58-32 Скриншот экранасистема имеет три формы равновесия: две устойчивые и третью — промежуточную — неустойчивую.

В частности, при Р = 0 эта неустойчивая форма соответствует расположению стержней в горизонтальной плоскости 2015-06-04 22-59-49 Скриншот экрана. При малейшем отклонении от этого положения стержневая система займет либо верхнее, либо нижнее положение.