Вопрос про траекторию движения точки

В точке А некоторого упругого тела (рис.158) приложена сила Р.

2015-05-26 20-34-06 Скриншот экрана

Какую поверхность будет описывать произвольно взятая точка В, если силу Р заставить поворачиваться в пространстве около точки А?

Возьмем две произвольным образом ориентированные системы координат. Одну — XYZ с началом в точке А и вторую — xyz с началом в точке В (рис, 414).

2015-05-26 20-37-49 Скриншот экрана

Составляющие силы Р по осям XYZ обозначим через Рх, Ру, Pz, причем
Рх = Рl,  Ру = Рm, Рz = Рn,
где l, m, nнаправляющие косинусы силы Р в системе координат XYZ.

Перемещения точки В по осям хуz обозначим через х, у, z. Эти перемещения будут связаны с компонентами силы линейными соотношениями:2015-05-26 20-50-57 Скриншот экрана (1), где сxx, сxy ...—некоторые постоянные коэффициенты, имеющие характер жесткости. Например, сxy — это сила, которую следует приложить в точке А в направлении х, чтобы в точке В в направлении у получить перемещение, равное единице.

Возводя в квадрат обе стороны каждого из равенств (1) и складывая их, получим:

2015-05-26 20-53-42 Скриншот экрана

Таким образом, мы видим, что вектор перемещения в точке В будет описывать поверхность второго порядка с центром в той же точке. Это может быть однополостный или двуполостный гиперболоид или эллипсоид. По физической сущности задачи поверхность не должна иметь бесконечно удаленных точек; следовательно, это будет эллипсоид или те поверхности, в которые эллипсоид может вырождаться.

Понятно, что сказанное не служит еще полным доказательством, а является лишь простой догадкой. Строгое доказательство, которого мы здесь не приводим из-за громоздкости выкладок, заключается в следующем. Поворотом систем координат XYZ и хуz преобразовываются уравнения (1) так, чтобы обратились в нуль шесть коэффициентов сxy, cyx, сxz , сzx, сyz и сzy. Для этого надлежащим образом подбираются три угла поворота одной и три угла поворота второй системы координат. Тогда

2015-05-26 21-02-40 Скриншот экрана
откуда, исключая l,  m, n, получим уравнение эллипсоида:

2015-05-26 21-04-11 Скриншот экрана