Вопрос про резиновый цилиндр

Открытый с обоих концов тонкостенный резиновый цилиндр вывертывается наизнанку (рис. 164).

2015-06-01 18-50-21 Скриншот экрана

Какую форму примет он после указанной операции, если известно, что деформации цилиндра являются чисто упругими? Резину можно считать подчиняющейся закону Гука (см. ответ на вопрос о резине и законе Гука).

Положим, что вывернутый наизнанку цилиндр имеет прежнюю форму, т. е. форму цилиндра радиуса R, и определим напряжения, которые возникнут в нем при этом условии.

Относительное удлинение в окружном направлении для слоев, расположенных на расстоянии z от серединной поверхности, будет определяться изменением кривизны цилиндра с 1/R  на  —1/R.  

2015-06-01 18-57-11 Скриншот экрана

Если длина этого волокна до деформации (рис. 419) была (R + z) dφ, то для вывернутого цилиндра она будет (R — z) dφ.

Относительное удлинение в окружном направлении

2015-06-01 19-02-55 Скриншот экрана
Относительное удлинение в осевом направлении εx  равно нулю. Следовательно, получаем

2015-06-01 19-05-25 Скриншот экрана

Таким образом, мы приходим к выводу, что для того чтобы вывернутый цилиндр сохранял цилиндрическую форму, необходимо на его торцах приложить напряжения σx, показанные на рис. 420.

2015-06-01 19-07-12 Скриншот экрана
Очевидно, действительная форма вывернутого цилиндра будет такой же, какую получил бы цилиндр, если бы он был нагружен на торцах обратной системой сил (рис. 421).

2015-06-01 19-08-13 Скриншот экрана

Момент М, к которому сводятся напряжения σx на единице дуги контура, будет

2015-06-01 19-09-43 Скриншот экрана

Выделим из цилиндра двумя осевыми сечениями полоску, ширина которой равна единице (рис. 422).

2015-06-01 19-10-37 Скриншот экрана

Эту полоску можно рассматривать как балку на упругом основании, так как радиальная составляющая сил Т, действующих на эту полоску со стороны соседних частей оболочки, пропорциональна прогибу полоски w.

Усилие Т, приходящееся на единицу длины, будет

2015-06-01 20-25-26 Скриншот экрана, а ее радиальная составляющая2015-06-01 20-26-32 Скриншот экрана
Знак минус для q принят вследствие того, что эта нагрузка направлена в сторону, противоположную прогибу. Но

2015-06-01 20-27-42 Скриншот экрана, где

2015-06-01 20-28-39 Скриншот экрана - жесткость полоски при стесненном изгибе. Тогда имеем:

2015-06-01 20-29-55 Скриншот экрана

Решая это уравнение, получим

2015-06-01 20-30-47 Скриншот экрана

Так как цилиндр достаточно длинен, ограничимся рассмотрением перемещений в зоне одного контура. Отбрасывая возрастающую часть решения, т. е. полагая C=D=0, получим

2015-06-01 20-43-31 Скриншот экрана

Постоянные А и В определятся из условий:

2015-06-01 20-35-48 Скриншот экрана

Но так как

2015-06-01 20-37-42 Скриншот экрана
При 2015-06-01 20-38-47 Скриншот экрана.

Форма вывернутого цилиндра в утрированном виде показана на рис. 423.

2015-06-01 20-39-55 Скриншот экрана