Вопрос об изменении объема цилиндра, если его положить на бок

Сплошной упругий цилиндр высотой H и радиусом R, опирающийся на жесткую плоскость (рис. 145), находится под действием собственного веса (вес цилиндра Р). Как изменится объем цилиндра, если его положить на бок?
2015-05-04 16-24-13 Скриншот экрана

Рассмотрим два состояния какого-либо упругого тела (не обязательно цилиндра), лежащего на жесткой плоскости.

Первое состояние: тело находится под действием собственного веса. Второе состояние: тело находится под действием некоторого давления р, равномерно распределенного по поверхности. По принципу взаимности работа первой системы сил на перемещениях, вызванных второй системой, равна работе второй системы сил на перемещениях первой системы.

Для первого из указанных состояний упругого тела работа сил веса на перемещениях, вызванных давлением, равна

2015-05-04 16-29-04 Скриншот экранагде γ — удельный вес, γ dV — вес элементарного объема, wp  — вертикальное перемещение некоторой точки упругого тела, находящегося под всесторонним давлением р. Это перемещение отсчитывается, естественно, относительно жесткой плоскости. Но при всестороннем давлении во всех точках тела упругие удлинения будут постоянны и равны

2015-05-04 16-32-32 Скриншот экрана

Следовательно, вертикальное перемещение wp пропорционально расстоянию от жесткой плоскости. Тогда

2015-05-04 16-34-23 Скриншот экрана
где wp — перемещение центра тяжести упругого тела.
Если центр тяжести упругого тела находится от основания на расстоянии Н, то

2015-05-04 16-36-55 Скриншот экрана

Таким образом,

2015-05-04 16-37-59 Скриншот экрана

С другой стороны, по принципу взаимности эта величина равна работе давления р на изменении искомого объема ΔV, вызванном силами собственного веса, т. е.

2015-05-04 16-40-08 Скриншот экрана
откуда получаем:

2015-05-04 16-41-01 Скриншот экрана

Если тело повернуть так, что центр тяжести будет находиться на другой высоте, соответственно изменится и ΔV. Полученное решение справедливо, естественно, для любого тела независимо от его формы. Для заданного цилиндра, очевидно, при переходе от положения I к положению II (рис. 145) объем увеличится на

2015-05-04 16-43-55 Скриншот экрана