Вопрос о перемещениях замкнутой торообразной оболочки

Рассмотрим замкнутую торообразную оболочку типа автомобильной камеры (рис.150), нагруженную внутренним давлением p, и определим напряжения, возникающие в этой оболочке. 2015-05-14 21-53-13 Скриншот экранаИз условия равновесия части оболочки, отсеченной коническим сечением (рис.150), получаем:2015-05-14 21-54-53 Скриншот экрана

Окружное напряжение σt  находим из известного уравнения2015-05-14 21-57-32 Скриншот экрана

В нашем случае

2015-05-14 21-58-14 Скриншот экрана

После подстановки ρm, ρt и  σm получаем2015-05-14 22-00-58 Скриншот экрана

Перейдем теперь к определению перемещений. Обозначим через u перемещение  точки срединной поверхности по направлению, перпендикулярному к оси вращения, а через v — перемещение вдоль оси вращения (рис.151).2015-05-14 22-04-47 Скриншот экранаОтносительное удлинение в окружном направлении будет:2015-05-14 22-05-51 Скриншот экранаМеридиональное удлинение2015-05-14 22-06-41 Скриншот экрана

Поэтому удлинение по меридиану равно2015-05-14 22-07-39 Скриншот экрана
С другой стороны,2015-05-14 22-08-23 Скриншот экрана
Учитывая выражения (1), (2) и (3), находим: 2015-05-14 22-09-31 Скриншот экрана
из (4) получаем:2015-05-14 22-10-18 Скриншот экрана

Постоянная С определяет смещение всего тора как жесткого целого вдоль оси симметрии и может быть задана произвольным образом. In tg φ/2φ обращается в бесконечность при φ = 0 и φ = π. Следовательно, в этих же точках обращается в бесконечность и перемещение v. Между тем совершенно очевидно, что это перемещение не может быть бесконечно большим. Значит, полученное выражение для v не дает правильного решения задачи.

В чем дело? Где была допущена ошибка?

 

В предложенной задаче все выкладки проделаны правильно, и ошибки как таковой нет. Полученный результат является следствием того, что в основу решения было положено предположение об отсутствии поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях оболочки.

Если учесть эти силовые факторы, то вычисленные перемещения будут иметь ограниченную величину. Можно получить правильное решение и по безмоментной теории, если только учесть изменение внутренних сил за счет изменения формы оболочки в процессе нагружения.

Резюмируя, можно сказать, что при определении напряжений пренебрежение изгибной жесткостью не вносит существенных погрешностей в решение задачи. При оценке же перемещений такое пренебрежение не всегда допустимо.