Вопрос о пружине Бурдона

Основной деталью в приборах, измеряющих давление, является так называемая пружина Бурдона, которая представляет собой изогнутую по дуге круга полую трубку с овальным или каким-либо другим вытянутым сечением (рис. 147).

2015-05-04 18-24-55 Скриншот экрана

Под действием внутреннего давления такая трубка несколько распрямляется, и перемещение конца трубки через множительный механизм передается стрелке манометра (рис. 148).

2015-05-04 18-28-30 Скриншот экрана

По отклонению стрелки судят о величине замеряемого давления.

В одной из книг, посвященных измерительным приборам, нам случилось видеть следующее объяснение принципа работы трубки Бурдона: «Действие пружины Бурдона основано на том, что давление внутри трубки на верхнюю поверхность пружины будет большим, чем давление на ее внутреннюю поверхность. Действительно, если трубка прямоугольного сечения и если через R1  и R2  обозначим наружный и внутренний радиусы трубки, то внешняя (S1 ) и внутренняя (S2 ) поверхности трубки будут равны соответственно
2015-05-04 18-33-10 Скриншот экрана, где φ — центральный угол пружины, а — размер в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, R1 и  R2  — радиусы.

При давлении p кг/см2  общее давление на наружную поверхность2015-05-04 18-38-47 Скриншот экрана

и на внутреннюю2015-05-04 18-39-27 Скриншот экрана, причем сила Pбудет больше силы Pи будет стремиться разогнуть пружину»

Правильно ли это объяснение?  

Объяснение ошибочно. Согласно приведенным рассуждениям трубка, независимо от формы поперечного сечения, под действием внутреннего давления всегда должна уменьшать свою кривизну — распрямляться. Опыт, однако, показывает, что трубка с круглым сечением вовсе не реагирует на внутреннее давление, а трубка, имеющая сечение с обратным расположением большой и малой осей, под действием внутреннего давления не уменьшает, а увеличивает свою кривизну.

Автор приведенного выше объяснения не учел того, что, кроме сил P1 и P2, действующих на поверхностях S1 и S2, имеется еще сила, действующая на донышко трубки. Эта сила дает момент, в точности равный разности моментов сил P1 и P2, так что изгибающий момент в любом сечении трубки равен нулю. При этом нет никакой нужды вычислять величины этих сил для проверки сказанного. Поверхность трубки справа от произвольно взятого сечения АА (рис. 404) является замкнутой поверхностью, и давление даст в этом сечении только нормальную силу, равную произведению давления на площадь сечения «в свету».

2015-05-04 18-48-45 Скриншот экрана
При любой форме трубки силы давления не дадут вовсе изгибающего момента. Необходимым условием работы трубки является деформация контура поперечного сечения. Какую бы некруглую форму сечение трубки ни имело, под действием внутреннего избыточного давления контур этого сечения стремится принять форму окружности. При этом малая ось сечения несколько увеличится, а большая уменьшится, и весь контур примет примерно такую форму, какая показана штриховой линией на рис. 404. При этом каждое продольное волокно трубки получит некоторое перемещение по направлению, параллельному малой оси сечения. На рис. 404 это перемещение для волокна mn обозначено через w.

Когда волокно mn переместится на величину w, оно перейдет на дугу большего радиуса и в нем появятся растягивающие напряжения. В волокнах, лежащих ниже нейтральной оси, появятся сжимающие напряжения. Трубка при этом будет распрямляться.

В свете сказанного становится ясным, почему трубка круглого сечения не реагирует на внутреннее давление. В этом случае контур сечения только растягивается, и величина w будет ничтожно малой. Поэтому и изменение кривизны трубки круглого сечения весьма мало и при обычной постановке эксперимента не обнаруживается.

Если большая ось сечения расположена в плоскости симметрии трубки, то величина w будет другого знака и кривизна трубки при внутреннем давлении будет не уменьшаться, а увеличиваться.