Задача

Однородный стер­жень с узким прямоугольным поперечным сечением вращается около оси ОО (рис. 140), параллельной большой стороне сечения.

2015-10-14 10-17-38 Скриншот экрана

Определите угловую скорость ω, при которой этот стержень будет закручиваться подобно стержням АА системы, рассмотренной в предыдущей задаче.

Представим себе, что некоторое сечение, расположенное на расстоянии ζ от оси, повернулось в результате закручивания стержня на угол φ (рис. 398).

2015-10-14 10-19-09 Скриншот экрана

Выделим из стержня элемент 2015-10-14 10-19-56 Скриншот экрана,расположенный на расстоянии у от оси стержня. При повороте сечения на угол φ элемен­тарная инерционная сила 2015-10-14 10-21-13 Скриншот экрана даст поперечную со­ставляющую 2015-10-14 10-21-58 Скриншот экрана.

Элементарный закручи­вающий момент этой силы будет:

2015-10-14 10-22-34 Скриншот экрана

где γ — удельный вес материала стержня. Тогда крутящий момент в сечении х определится как

2015-10-14 10-24-09 Скриншот экрана

Нормальная сила в том же сечении определится интегриро­ванием выражения

2015-10-14 10-24-57 Скриншот экрана

что дает:

2015-10-14 10-26-31 Скриншот экрана

Из условий закручивания стержня имеем:

2015-10-14 10-27-39 Скриншот экрана

где С — жесткость на кручение. Последняя величина в дан­ном случае зависит от силы N (см. ранее решенную задачу — здесь):

2015-10-14 10-30-23 Скриншот экрана

В предыдущем примере стержни ОА были круглыми и их жесткость не зависела от растягивающей силы. Теперь полу­чаем:

2015-10-14 10-31-30 Скриншот экрана

Дифференцируем обе части этого уравнения по х:

2015-10-14 10-32-15 Скриншот экрана

Но из выражения для С следует

2015-10-14 10-32-57 Скриншот экрана

поэтому

2015-10-14 10-33-32 Скриншот экрана

Независимо от вида функции С решением этого уравнения будет

2015-10-14 10-34-16 Скриншот экрана,

где А и В — произвольные постоянные.

Возьмем интеграл

2015-10-14 10-36-03 Скриншот экрана

При х = 0  φ = 0, откуда А = 0. Далее, при х = l имеем 2015-10-14 10-39-14 Скриншот экрана, и тогда В = 0.

Следовательно, при любой угловой скорости ω стержень остается прямым (При подготовке автором первого издания настоящего задач­ника Л. И. Балабух показал, что призматический стержень вообще любой формы поперечного сечения не имеет критической угловой скорости.).

Если бы жесткость на кручение не зави­села от нормальной силы, для стержня можно было бы указать критическую угловую скорость.