Задача

Тонкая длинная полоса (рис. 138) нагревается равномерно по длине  l и толщине h, но неравномер­но по ширине b.

2015-10-14 09-01-20 Скриншот экрана

Определить условия, при которых имеет место потеря устойчивости полосы с закручиванием.

Примем, что поперечные сечения полосы не искри­вляются.

2015-10-14 09-03-43 Скриншот экрана

Тогда осевые удлинения могут быть представлены в виде линейной функции у (рис. 395):

2015-10-14 09-04-36 Скриншот экрана

где 2015-10-14 09-05-11 Скриншот экранаизменение кривизны полосы в плоскости ху. Осевое напряжение будет, очевидно, следующим:

2015-10-14 09-05-59 Скриншот экрана

где αt— температурное удлинение.

Так как нормальная сила в сечении и изгибающий момент Мz равны нулю, то

2015-10-14 09-11-30 Скриншот экрана

откуда

2015-10-14 09-12-12 Скриншот экрана

При возникновении крутки напряжения σx образуют момент относительно оси х (рис. 395), равный

2015-10-14 09-13-49 Скриншот экрана

или

2015-10-14 09-14-27 Скриншот экрана

Кроме того, при закручивании в полосе возникает момент касательных напряжений, равный, как известно,

2015-10-14 09-39-51 Скриншот экрана

Сумма этих моментов равна нулю, поэтому

2015-10-14 09-40-32 Скриншот экрана

Подставляя сюда σx, находим:

2015-10-14 09-41-41 Скриншот экрана

где μ — коэффициент Пуассона. Исключая ε0, получим:

2015-10-14 09-42-47 Скриншот экрана (1)

Это и есть условие перехода к новой форме равновесия.

Заметим, что при линейном законе распределения температурных удлинений вдоль оси у, т. е. при

αt = A + By,

левая часть выражения (1) обращается в нуль при любых значениях А и В. Следовательно, при линейном распределении температуры новой формы равновесия не существует.

Положим, что температурные удлинения на левой поло­вине полосы распределены по квадратичному закону

2015-10-14 09-45-13 Скриншот экрана

(рис. 396).

2015-10-14 09-45-51 Скриншот экрана

Тогда выражение (1) принимает вид

2015-10-14 09-46-37 Скриншот экрана

или

2015-10-14 09-47-18 Скриншот экрана

Заметим, что чем относительно тоньше лист, тем при более низкой температуре происходит потеря устойчивости (коробление).