Задача

Два стержня в об­щем узле нагружены силой Р (рис. 137).

2015-10-14 08-03-10 Скриншот экрана

Каждый стержень представляет собой телескопи­ческое устройство, допускающее большие изменения длины.

Существуют ли условия, при ко­торых происходит переход от симме­тричной формы равновесия к несимме­тричной?

Рассмотрим систему в отклонен­ном от вертикали положении.

2015-10-14 08-07-00 Скриншот экрана

Уравнения равновесия для узла (рис. 392, а) будут следующие:

2015-10-14 08-08-25 Скриншот экрана (1)  

Из треугольника АВС (рис. 392, б) имеем:

2015-10-14 08-10-11 Скриншот экрана (2)

Будем рассматривать малые отклонения от вертикали и большие — по вертикали. Обозначим

α2 = α + β,   α1 = α — β,

где угол α характеризует перемещение узла вниз, а малый угол β—перемещение по горизонтали. Аналогично

N= N — ΔN, N2 = N + ΔN.

Обозначим через с жесткость стержней на сжатие

2015-10-14 08-17-29 Скриншот экрана

Далее подставляем α1, α2, N1,  N2, Δl1  и  Δl2 в уравнения (1) и (2) и линеаризуем их, пренебрегая малыми произведе­ниями β ΔN. Удерживаются только первые степени этих величин. В итоге взамен (1) и (2) получим:

2015-10-14 08-20-03 Скриншот экрана

Первое и третье из этих уравнений дают возможность опре­делить угол α в зависимости от силы Р при симметричной форме равновесия

2015-10-14 08-21-04 Скриншот экрана   (3)

Второе и четвертое уравнения являются однородными относительно неизвестных величин β  и ΔN, характеризующих боковое отклонение. Приравниваем нулю определитель этой системы

2015-10-14 08-23-11 Скриншот экрана

откуда

2015-10-14 08-23-50 Скриншот экрана

Заменяя N через Р, имеем:

2015-10-14 08-24-32 Скриншот экрана

или согласно выражению (3)

2015-10-14 08-25-11 Скриншот экрана

На рис. 393 показан график зависимости между cos α и cos α0.

2015-10-14 08-28-41 Скриншот экрана

Понимать этот график нужно следующим образом. Задан угол α0. Система не нагружена. При этом α = α0 (точка А на рис. 393). По мере нагружения угол α умень­шается, а cos α возрастает. Точка В характеризует переход к несимметричной форме. Из выражения (3) может быть определено и значение соответствующей силы Р. Когда угол α достаточно уменьшился, симметричная форма равно­весия снова становится устойчивой (точка С на графике).

Возникновение несимметричных форм возможно лишь при

2015-10-14 08-30-33 Скриншот экрана  или при α0 > 67°25'.

Поведение системы в закритическом состоянии может быть исследовано, если отказаться от предположения малости угла β. Впрочем, здесь удобнее решать задачу энергетическим методом.

2015-10-14 08-32-31 Скриншот экрана

Если ввести в рассмотрение перемещения λ и f (рис. 394), то из четырехугольников СВВ1В0 и АВВ1В0 легко получить следующие соотношения:

2015-10-14 08-34-39 Скриншот экрана

Исключая α и α2, получим:

2015-10-14 08-36-13 Скриншот экрана

Полная потенциальная энергия системы будет:

2015-10-14 08-36-53 Скриншот экрана

Первые производные от U  по λ и f в положении равновесия равны нулю, а по знаку вторых производных определяется — устойчива или неустойчива форма равновесия.

Предоставляем читателю возможность произвести этот ана­лиз самостоятельно.