Задача

Стержень корытного профиля (рис. 136) сжат цен­трально приложенной силой Р, вызывающей в стержне пласти­ческие деформации.

2015-10-13 08-40-25 Скриншот экрана

Спрашивается, в какую сто­рону вероятнее всего прогнется стержень при потере устойчи­вости. Направо или налево?

Вероятность выпучивания стержня в ту или иную сторону определяется его начальной погибью, случайными неоднородностями в материале и отклоне­ниями линии действия силы Р от оси стержня.

Степень влияния случайных факторов зависит от жесткости стержня. Наиболее вероятным является, очевидно, изгиб в пло­скости минимальной жесткости, т. е. в данном случае относительно оси z (рис. 387).

2015-10-13 08-43-13 Скриншот экрана

Остается проверить, не меняется ли жест­кость на изгиб при перемене знака мо­мента. В случае, если жесткость остается неизменной, выпучивание стержня вправо или влево будет равновероятным.  Если жесткость окажется различной, наиболее вероятным будет изгиб в сторону наименьшей жесткости.

Положим задана диаграмма сжатия материала (рис. 388).

2015-10-13 08-48-10 Скриншот экрана

Напряжение σ, возникающее в поперечных сечениях стержня, превышает по условию предел текучести (точка А на диа­грамме). При изгибе стержня слои, расположенные с вогну­той стороны, догружаются и напряжения возрастают в зави­симости от ε по прямой 1. С выпуклой стороны происходит разгрузка, и зависимость между σ и ε изображается прямой 2. Тангенс угла наклона прямой 1 обозначим через D, а прямой 2 — через Е, где Е — модуль упругости. В результате эпюра  дополнительных изгибных на­пряжений принимает вид лома­ной (рис. 387). Положение ней­тральной линии z1 определяется из условия, что

2015-10-13 08-52-07 Скриншот экрана  (1),

поскольку нормальная сила в сечении не меняется и постоянно равна Р.

Если стержень выпучивается  налево, ось z1 смещается от центральной оси  z  также налево. Если стержень выпучи­вается направо, нейтральная ось сдвигается направо.

Рассмотрим первый случай. Ось  z1  сдвинута налево. С выпуклой стороны стержня

2015-10-13 08-55-33 Скриншот экрана

а с вогнутой

2015-10-13 08-56-31 Скриншот экрана

Согласно выражению (1) имеем:

2015-10-13 08-57-22 Скриншот экрана,

где первый интеграл распространяется на область, располо­женную слева от оси z1, а второйсправа от оси z1  (рис. 387). Взяв статические моменты указанных участков относительно оси zнаходим:

2015-10-13 08-59-45 Скриншот экрана,

где d = D/E.

При выпучивании стержня направо ось zсмещается на­право на величину

2015-10-13 09-01-07 Скриншот экрана

Теперь определим момент напряжений Δσ относительно поперечной оси z1Заметим, что ось может быть взята произ­вольно в связи с тем, что нормальная сила от напряжений Δσ при найденных b1 и b2 равна нулю.

При выпучивании стержня налево

2015-10-13 09-03-19 Скриншот экрана

Это выражение можно написать в виде

2015-10-13 09-03-57 Скриншот экрана,

где

2015-10-13 09-04-48 Скриншот экрана

Исключая b1, получим:

2015-10-13 09-06-10 Скриншот экрана

При выпучивании стержня направо получаем аналогично:

2015-10-13 09-06-52 Скриншот экрана

В интервале изменения d от нуля до единицы получаем:

J ≤  J1

Следовательно, вероятность отклонения стержня направо больше, чем налево. При потере устойчивости стержень ве­роятнее всего изогнется так, чтобы открытая сторона про­филя располагалась на вогнутой стороне бруса.