Задача

Исследовать устойчивость защемленного одним кон­цом трубопровода, по которому протекает жидкость (рис. 134).

2015-10-11 00-10-10 Скриншот экрана

Параметры трубопровода и потока заданы.

Возвратимся к решению ранее решенной задачи про трубу, по которой прогоняется жидкость — см. здесь. Легко убе­диться в том, что трубопровод, защемленный одним концом, не имеет форм равновесия кроме исходной, прямолинейной. Действительно, из решения ранее решенной задачи  используем

2015-10-11 00-15-46 Скриншот экрана

но для иных граничных условий, а именно:

2015-10-11 00-16-30 Скриншот экрана

откуда

2015-10-11 00-17-10 Скриншот экрана

Из двух последних выражений вытекает, что для А и В ненулевые решения существуют, если

2015-10-11 00-18-13 Скриншот экрана, что невозможно. Следовательно, А = В = С= D= 0, и стержень не имеет форм равновесия, отличных от исходной прямолинейной.

Необходимо обратиться к поиску форм движения. Заметим, кстати, что существование этих форм легко обнаруживается, если через гибкий резиновый шланг подавать под достаточ­ным давлением воздух от компрессора. Точно такое же колебательное движение можно наблюдать при подаче воды через шланг, лежащий, например, при заливке катка на мокром скользком льду.

Пусть масса трубы на единицу длины будет mт, а масса жидкости, также отнесенная к единице длины, mж. На отрезке dx (рис. 383) имеем соответственно массы mтdx и mжdx.

2015-10-11 00-25-15 Скриншот экрана

При поперечном движении трубопровода на отрезке dx возникает инерционная сила, равная

2015-10-11 00-25-58 Скриншот экрана

В связи с тем, что поток частиц поворачивается с угловой скоростью 2015-10-11 00-26-48 Скриншот экрана, возникает кориолисово ускорение. Соот­ветствующая инерционная сила будет:

2015-10-11 00-27-24 Скриншот экрана

С тем же знаком пишем выражение для силы, свя­занной с кривизной по­тока (или с нормальным ускорением):

2015-10-11 00-28-14 Скриншот экрана

Сумма этих сил, деленная на dx, дает интенсивность попе­речной «внешней» нагрузки. Следовательно,

2015-10-11 03-02-54 Скриншот экрана

Перейдем сразу же к безразмерной форме. Положим, что

2015-10-11 03-05-17 Скриншот экрана(1)

Тогда получим:

2015-10-11 03-06-11 Скриншот экрана(2), где

2015-10-11 03-07-27 Скриншот экрана (3)

Первый параметр характеризует расход жидкости через трубопровод, второй — соотношение между массой жидкости и массой трубопровода.

В заделке при 2015-10-11 03-08-55 Скриншот экрана. На конце стержня при ζ = 1 имеем:

2015-10-11 03-09-57 Скриншот экрана

Теперь задача сводится к определению областей измене­ния параметров β и 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана, при которых вещественная часть ε показателя ε + iω (1) принимает положительные значения.

Имея в виду переложить операцию поиска на электрон­ную цифровую машину, положим:

2015-10-11 03-13-45 Скриншот экрана

Из двух первых граничных условий следует, что С0С1 = 0. Два других условия принимают вид

2015-10-11 03-15-17 Скриншот экрана(4)

Полагая коэффициенты С2 и С3 неопределенными, напишем уравнения (4) в следующем виде:

2015-10-11 03-16-20 Скриншот экрана (5)

Условие существования ненулевых решений будет, очевидно, следующим:

2015-10-11 03-17-07 Скриншот экрана (6)

Перейдем теперь от комплексной формы написания урав­нений к вещественной. Положим, что

2015-10-11 03-18-07 Скриншот экрана

и соответственно

2015-10-11 03-18-50 Скриншот экрана

Подставляя Y в уравнение (2) и разбивая его на веществен­ную и мнимую части, получаем рекуррентные формулы для определения Аn и Вn:

2015-10-11 03-20-32 Скриншот экрана(7)

Уравнение (6) также разобьем на вещественную и мнимую части, полагая

2015-10-11 03-21-34 Скриншот экрана

Тогда получим два уравнения:

2015-10-11 03-22-33 Скриншот экрана (8)

Если положить С2 = 1 (A2 = 1, B2 = 0), а С3 = 0 (A3 = В3 = 0), то из сопоставления выражений (4) и (5) видно, что первая сумма (4) равна а, а вторая — равна с. Следова­тельно. при A2=1 и В2 = А3 = В3 = 0 имеем:

2015-10-11 03-27-16 Скриншот экрана

Если же мы примем, что С2 = 0, а С= 1, т. е. положим A2 = В2 = В3 = 0, A3= 1 и вычислим по рекуррентным формулам (7) коэффициенты Аn и Вn, то получим:

2015-10-11 03-28-17 Скриншот экрана

Таким образом вычисляются величины, входящие в уравне­ния (8),

Этим, собственно говоря, и определяется порядок вычис­лений на машине.

Сначала надо составить подпрограмму вычисления величин D1 и D2 (8) при фиксированных параметрах 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана, β, ω и ε.

Степенные ряды сходятся быстро, и величины Аn и Вn при  n > 30 уже, как правило, имеют значения, меньшие машин­ного нуля.

Затем для фиксированных 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана и  β определяем такие ε и ω, чтобы удовлетворялась система (8).  Поиск реализуется при помощи простейшей линейной интерполяции. Задаваясь на плоскости ε, ω тремя точками, определяем соответственно этим точкам три значения D1 и D2  (8). По трем значениям D1 и D2 строим в пространстве две плоскости:

D1 = D1 (ε; ω) и  DD2 (ε; ω).

Линия их пересечения пересекает плоскость ε, ω в точке, координаты которой соответствуют корням системы (8). Дальше производится последующее сближение до тех пор, пока не будет выполнено заданное условие точности. Если вычисления производить при изменении параметра β, то можно проследить затем, как меняется частота ω и параметр за­тухания ε в зависимости от скорости потока при заданном 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана, т. е. при заданном соотношении масс потока и стрежня.

На рис. 384 показано несколько таких кривых.

2015-10-11 03-48-57 Скриншот экрана

Харак­терно, что в рассматриваемой задаче не наблюдается смыкания частот, с которым мы сталкивались ранее. Это связано с тем, что скорость потока является не только возбуждающим, но одновременно и демпфирующим фактором, проявляющимся в наличии кориолисовых сил. Даже при самой малой ско­рости v имеется затухание, и корни характеристического уравнения будут не мнимыми, а комплексными.

С возрастанием скорости потока первая частота ω  (при малых 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана) возрастает, затем начинает уменьшаться и обра­щается в нуль, но величина ε во всех случаях остается отрицательной. Это означает, что нарастающих отклонений по форме первого тона не возникает, а имеет место либо колебательное, либо апериодическое затухание.

Первый переход ε в положительную область происходит при частотах, соответствующих второму тону. Соответствую­щие кривые на графике (рис. 384) отмечены индексом (ε2, ω2).

Причудливо выглядит зависимость частоты колебаний ω и критической скорости потока  β от параметра 2015-10-11 03-54-48 Скриншот экрана (рис. 385).

2015-10-11 03-55-54 Скриншот экрана

При 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана < 0,545 возбуждаются колебания второго тона. При большем 2015-10-11 03-12-02 Скриншот экрана возникают колебания по третьему тону, что проявляется в резком возрастании частоты. Затем при большей относительной массе жидкости колебания про­исходят по четвертому тону и частоты растут. В предельном случае, когда масса трубопровода мала по сравнению с массой жидкости, частота и критическая скорость неограниченно возрастают. Если масса стержня равна нулю, система устой­чива при любой скорости потока.