Задача

Дать анализ устойчивости защемленного стержня, нагруженного на конце силой Р, сохраняющей вертикальное направление, и моментом М (рис. 133).

2015-10-10 00-17-08 Скриншот экрана

Задача вошла в литературу под названием задачи Е. Л. Николаи. Именно на примере ее решения в 1927 г. впервые обнаружился факт существования систем, анализ устойчивости которых не может быть произведен на основе определения форм равновесия по Эйлеру. Действительно, в простейшем случае, когда жесткости стержня в двух глав­ных плоскостях равны, имеем следующие уравнения равновесия:

2015-10-10 00-24-03 Скриншот экрана (1)

Они получаются из уравнений (1) ранее решенной задачи (см. — здесь) заменой знака при Р на обратный.

Решение уравнений остается прежним:

2015-10-10 00-29-04 Скриншот экрана

где α1 и α2 — корни квадратного уравнения

2015-10-10 00-30-42 Скриншот экрана (2)

При составлении уравнения (1) предполагалось, что пере­мещения у и z отсчитываются от линии действия силы Р. По­этому, помещая начало отсчета х, у и z в точке приложения силы Р  (рис. 377), при­ходим к граничным условиям:

при х = 0   у  = z = 0,

при х = l   y' = z' =0.

2015-10-10 00-39-18 Скриншот экрана

Это дает:

2015-10-10 00-33-38 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем:

2015-10-10 00-34-38 Скриншот экрана (3)

Но согласно уравнению (2)

2015-10-10 00-35-34 Скриншот экрана

поэтому уравнение (3) принимает вид

2015-10-10 00-36-18 Скриншот экрана

При значениях момента M, отличных от нуля, это урав­нение удовлетворено быть не может, поскольку правая часть по абсолютной величине оказывается больше единицы. Лишь в случае M = 0

2015-10-10 00-37-32 Скриншот экрана

и тогда получаем обычное значение для критической силы

2015-10-10 00-38-21 Скриншот экрана

Итак, при сколь угодно малом, отличном от нуля, значе­нии М и сколь угодно большой силе Р стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. Точно такой же результат получается и в случае, если плоскость момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением. В случае «полусле­дящего» момента, создаваемого двумя гру­зами, система, как мы уже видели на примере решения задачи — см. здесь , имеет формы равновесия, отличные от исходной. Таким образом, обнаруживается аналогия с по­ведением системы, рассмотренной в преды­дущей задаче. Там, однако, мы имели один внешний силовой фактор: момент М.

В предложенной же задаче у нас два си­ловых фактора: сила Р и момент М. Если приложена только сила Р, то при ее воз­растании происходит переход к новой форме равновесия. Для момента же (за исключением «полуследящего») характерен переход к новым формам движения. По­этому интересно проследить за поведением системы в области совместного действия двух факторов и определить, где раньше возникает форма движения, а где — форма равновесия.

Дифференцируя выражения (1) два раза по х и добавляя члены, соответствующие инерционным силам, получим:

2015-10-10 00-45-08 Скриншот экрана (4)

Как увидим далее, поведение системы существенно за­висит от отношения жесткостей    на изгиб в главных  пло­скостях. Поэтому в уравнениях (4) взамен  одной   жесткости  EJ введено две: EJl и EJ2.

Теперь начало координат удобнее поместить в заделке (рис. 378).

2015-10-10 00-17-08 Скриншот экрана

Независимо от условий нагружения при х = 0 имеем у = z = 0 и 2015-10-10 00-49-35 Скриншот экрана.

Выражения поперечныхсил Qx и Qy  для изогнутого стержня усложняются введением члена, содержащего кру­тящий момент, т. е.

2015-10-10 00-51-28 Скриншот экрана

где Mz1 и Мy1—изгибающие моменты относительно по­движных осей у1, z1. Необходимые соотношения легко получаются, если приравнять нулю суммы моментов сил, действующих на элемент dx относительно осей у1 и z1 (см. рис. 379, где показаны проекции этого элемента на плоскости ху и хz).

2015-10-10 00-55-40 Скриншот экрана

На конце стержня

2015-10-10 00-56-22 Скриншот экрана

поэтому при х = независимо от поведения момента М имеем два граничных условия:

2015-10-10 01-11-54 Скриншот экрана (5)

Если плоскость действия момента М при изгибе стержня поворачивается вместе с торцовым сечением, то, очевидно, при х = I  Мy1 = Mz1 = 0 и тогда имеем еще два условия:

2015-10-10 01-15-31 Скриншот экрана (6)

Если плоскость действия момента М при изгибе стержня не поворачивается, то при х =I имеем 2015-10-10 01-17-22 Скриншот экрана и 2015-10-10 01-18-09 Скриншот экрана и тогда

2015-10-10 01-19-13 Скриншот экрана (7)

Наконец, в случае «полуследящего» момента получаем:

2015-10-10 01-20-28 Скриншот экрана (8)

Перейдем к безразмерным параметрам. Для этого при­мем, что

2015-10-10 01-21-25 Скриншот экрана

где Y и Z —безразмерные искомые функции, зависящие только от х,  ω —безразмерная частота, а

2015-10-10 01-23-23 Скриншот экрана.

В качестве независимого переменного вместо х возьмем 2015-10-10 01-24-40 Скриншот экрана. После подстановки х, у и z в уравнения (4) полу­чим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

2015-10-10 01-25-48 Скриншот экрана (9)

где М0 и β2 — безразмерные момент и сила:

2015-10-10 01-27-04 Скриншот экрана

Величина k характеризует отношение жесткостей

2015-10-10 01-28-00 Скриншот экрана

Предполагается, что EJ1 — минимальная жесткость, поэтому ≥ 1.

Используя безразмерные параметры, преобразовываем также граничные условия.

2015-10-10 01-30-10 Скриншот экрана

Для конца стержня, т. е. при ζ=1 в случае нагружения моментом, плоскость которого поворачивается вместе с тор­цевым сечением, получаем:

2015-10-10 01-31-49 Скриншот экрана

При неповорачивающейся плоскости действия момента два первых условия сохраняются, а два последних принимают вид

2015-10-10 01-32-46 Скриншот экрана (12)

В случае «полуследящего» момента опять условия (10) остаются в силе, а взамен выражений (11) получим:

2015-10-10 01-34-01 Скриншот экрана (13)

Для решения задачи единственно целесообразным является применение машинного анализа. Алгоритм уже выработан при решении предыдущих задач.

Примем, что

2015-10-10 01-35-09 Скриншот экрана

и подставим Y и Z в уравнения (9), после чего получим следующие рекуррентные формулы:

2015-10-10 01-36-46 Скриншот экрана

Так как в заделке2015-10-10 01-37-41 Скриншот экрана, то, очевидно.

А0 = А1 = В= В= 0.

Еще четыре коэффициента А2, А3, В2 и В3 должны быть выбраны так, чтобы выполнялись граничные условия на конце стержня, т. е. при ζ=1. Для этого обращаемся к выражениям (10), а также в зависимости от условий нагружения к выражениям (11), или (12), или (13).

Так как коэффициенты А2А3, В2 и В3 входят во все перечисленные выражения линейно, то четыре уравнения от­носительно этих коэффициентов можно написать в виде

2015-10-10 01-42-58 Скриншот экрана(15)

Два первых уравнения получаются из выражений (10), а два других — либо из (11) или (12), или (13), смотря по тому, каким моментом М нагружен стержень.

Если при заранее фиксированном значении параметров М0, β, k и ω положить А= 1, а А3 = В2 = В3 = 0, то по рекуррентным формулам (14) можно найти А4, В4, А5, В5, ...

Затем суммированием до некоторого n, например до n = 30, находим значения производных от функций Y и Z при ζ = 1, т. е.

2015-10-10 01-47-47 Скриншот экрана

Найденные суммы подставляются в выражения (10) и (11) или (12) или (13). Соответственно получаем коэффициенты а11, а21, а31а системы (15). Если повторить все выкладки заново в предположении, что А= 1, а АВВ= 0то найдем, очевидно, коэффициенты а12, , а32а42. Затем надо принять В= 1 и, наконец, В= 1. В итоге четырех­кратного повторения цикла находим все коэффициенты си­стемы (15).

Условием существования ненулевых решений для Y и Z является равенство нулю определителя

 2015-10-10 02-39-49 Скриншот экрана (16)

Таким образом, анализ устойчивости сводится к опреде­лению таких соотношений между М0, β, ω и k, при которых выполняется условие (16). Практически надо зафиксировать в первую очередь параметр k, затем — β и, наконец, — М0. Давая ω разные значения, подбираем такое, при котором определитель D обращается в нуль, снова подбирается ω . Таким образом определяется зависимость ω  от М0 при фиксированных β и k. На рис. 380 показана такая зависимость для k = 2.

2015-10-10 02-43-49 Скриншот экрана

Очевидно, строить все графики или выводить на печать множество данных нет необходимости. В ло­гику программы нетрудно ввести признаки, по кото­рым можно судить о по­ведении частоты в зави­симости от М0 и β. Если частота обращается в нуль, это значит, что найдена новая форма равновесия.

Если частоты двух первых форм смыкаются, значит найдена форма движения.

Естественно, отношение жесткостей k2 должно при этом поиске оставаться неизменным.

Результаты поиска критических значений параметров β и М0 представлены на рис. 381.

2015-10-10 02-52-50 Скриншот экрана

Для граничных условий (11) и (12) они оказались совершенно одинаковыми. Иначе говоря, различия между нагружением следящим и неследящим моментом не обнаруживается. Для каждого фиксированного 2015-10-10 02-53-53 Скриншот экрана область устойчивости (рис. 381) ограничи­вается криволинейным четырехугольником ОABC. Точка А является общей для всех кривых. Здесь  2015-10-10 02-55-07 Скриншот экрана, что соответствует значению критической силы

2015-10-10 02-55-52 Скриншот экрана

Кривые АВ дают условия перехода к новой форме равно­весия и соответствуют изгибу в плоскости минимальной жесткости (EJ1). Любопытно, что с возрастанием момента критическая сила возрастает. Это происходит потому, что приложенный момент заставляет стержень при изгибе откло­няться от плоскости минимальной жесткости.

Верхняя часть кривых ABD, показанных на рис. 381, соответствует форме равновесия, связанной с изгибом в пло­скости наибольшей жесткости. Значение параметра β в точках D в k раз больше, чем в точке А.

Справа область устойчивости ограничена условием пере­хода к колебательной форме движения. Границы перехода отмечены на рис. 381 пунктирными линиями ВС.

При k → 1 область устойчивости стягивается в отрезок прямой ОА. Точка D смыкается с А, а С — с О.

Для «полуследящего» момента, как и следовало ожидать, формы движения с нарастающей амплитудой не обнаружи­ваются. При определенных значениях М и Р возникают только новые формы равновесия (ω = 0).

Определение критических состояний здесь можно было бы произвести и аналитически, однако при отлаженной программе делать это нецелесообразно и удобнее переложить вычисле­ния сразу на машину по уже разработанному алгоритму.

Кривые, ограничивающие область устойчивости, пред­ставлены на рис. 382 и понятны без объяснений.

2015-10-10 02-59-36 Скриншот экрана