Задача

Тонкий упругий однородный стержень совершает равноускоренное движение под действием следящей силы, при­ложенной к одному из торцев (рис, 130).

2015-10-06 11-25-40 Скриншот экрана

Исследовать устойчивость прямолинейной формы стержня.

Система аналогична рассмотренной в ранее решенной задаче. Для анализа устойчивости необходимо составить уравнения движения.

Рассмотрим элемент длиной dx (рис. 365).

2015-10-06 11-32-39 Скриншот экрана

Приравнивая нулю сумму проекций сил на ось у, получаем:

2015-10-06 11-31-39 Скриншот экрана

 или

2015-10-06 11-36-53 Скриншот экрана

Но так как

2015-10-06 11-37-49 Скриншот экрана

то

2015-10-06 11-38-33 Скриншот экрана (1)

Здесь ρ—как обычно, плотность материала, a — площадь сечения. Эти величины (так же как и EJ ) от х не зависят.

Уравнение (1) имеет структуру, заранее предопределяющую применение машинного счета. Для однородного стержня, правда, имеется надежда свести решение уравнения к табули­рованным функциям Бесселя либо родственным им. Однако даже в этом случае наиболее быстро решается задача при помощи ЭЦВМ. Полагаем

2015-10-06 11-40-38 Скриншот экрана

и переходим к безразмерной форме

2015-10-06 11-41-17 Скриншот экрана,

где

2015-10-06 11-41-59 Скриншот экрана

Граничные условия:

2015-10-06 11-43-10 Скриншот экрана

Решение ищем в виде ряда

2015-10-06 11-44-06 Скриншот экрана

По условиям на концах АА= 0

2015-10-06 11-44-06 Скриншот экрана (2)

Для определения членов ряда имеем  рекуррентную  формулу

2015-10-06 11-45-44 Скриншот экрана

Постоянные А0 и А1 остаются неопределенными. Их нужно подобрать так. чтобы выполнялись два последних граничных условия. Поскольку в выражения (2) А0 и А1 входят линейно, можно написать:

2015-10-06 11-47-28 Скриншот экрана

Условие существования ненулевых решений будет, оче­видно, следующим:

2015-10-06 11-48-39 Скриншот экрана (3)

Последовательность счета:

Задаемся β и ω.

Полагаем А0 = 1 и А= 0 и по рекуррентной формуле определяем члены ряда. В рассматриваемой задаче их доста­точно взять 20 или 30. Затем подсчитывается

Σ  Аn (n— 1) = К0   и  Σ Аn (n— 1) (n—2) = L0

Полагая А0 = 0 и А1= 1, повторяем счет; тогда найден­ные суммы соответственно равны К1 и L1. Далее вычисляется величина (3). Меняем ω и снова вычисляем D. Срав­ниваем его с предыдущим. Если знак D не изменился, идем дальше; если — изменился, то это значит, что пройдено значение частоты для данной силы. Интерполяцией определяется ω. В результате строим график зависимости ω от β, который представлен на рис. 366.

2015-10-06 11-57-35 Скриншот экрана

Как и в ранее решенной задаче, при критической силе Р имеет место смыкание частот первого и второго тонов:

2015-10-06 11-59-11 Скриншот экрана

Критическая сила

2015-10-06 12-00-15 Скриншот экрана

На рис. 366 для ряда значений Р показаны формы коле­баний стержня, причем рассмотрен случай не только сжимаю­щей, но и растягивающей силы Р. Любопытно, что при не­которых значениях Р узловые точки становятся мнимыми.