Задача

Защемленный одним концом стержень имеет на сво­бодном конце жесткий диск, к которому приложена сила Р. Точка приложения силы постоянно расположена на оси х (рис. 129).

2015-10-04 07-28-40 Скриншот экрана

Исследовать устойчивость системы в двух случаях:

а) сила Р возбуждается потоком неупругих частиц, уда­ряющихся о диск; в этом случае при повороте диска напра­вление вектора Р остается неизменным;

б) сила Р возбуждается грузом, передаваемым через шток; в этом случае сила Р следит за нормалью к диску.

Случай нагружения а) вошел в литературу под названием задачи Реута [Реут В. И., О теории упругой устойчивости, Труды Одес­ского ин-та инж. гражд. и комм. стр-ва, вып. 1, 1939].

Стержень не имеет форм равновесия, кроме исходной прямолинейной. Действительно, имеем:

2015-10-04 07-33-56 Скриншот экрана

(рис. 362); далее,

2015-10-04 07-33-56 Скриншот экрана

при х = 0 у = 0 и у' = 0, следовательно,

В = 0 и А = 0.

2015-10-04 07-36-16 Скриншот экрана

Перейдем к анализу форм движения. Будем считать, что масса плоского диска на конце стержня мала. Функция Y (формула (9)), найденная при решении преды­дущей задачи, остается в силе. Остаются вер­ными и два первых граничных условия:

2015-10-04 07-38-53 Скриншот экрана

Обращаясь к решению (9) предыдущей задачи, получим:

2015-10-04 07-40-17 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель системы, приходим к транс­цендентному уравнению

2015-10-04 07-41-03 Скриншот экрана

которое полностью совпадает с уравнением (10) предыдущей задачи. Таким об­разом, критическая сила будет такой же, как и в предыду­щей задаче:

2015-10-04 07-42-43 Скриншот экрана

О совпадении результатов можно было бы догадаться и сразу. Усилия на концах стержня в обоих случаях тождественны. Различие заключается лишь в системе отсчета у и х (рис. 363).

2015-10-04 07-46-24 Скриншот экрана

В случае нагружения б) (рис. 364) задача решается на основе обычного анализа форм равновесия.

2015-10-04 07-47-08 Скриншот экрана

Имеем уравнение

2015-10-04 07-45-34 Скриншот экрана

или

2015-10-04 07-47-56 Скриншот экрана

откуда

2015-10-04 07-48-51 Скриншот экрана

При х = 0  у = 0  и у' = 0, а при х = l  у' = φ. Тогда получаем три следующих уравнения:

2015-10-04 07-50-43 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем:

tg αl = — αl.

Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения будет:

α= 2,029,

откуда

2015-10-04 07-52-52 Скриншот экрана